Формула Байєса

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

умовна ймовірність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Опис

Теорема Байєса – одна з осн. теорем елементарної теорії ймовірності, яка визначає ймовірність настання події в умовах, коли на основі спостережень відома лише деяка часткова інформація про події. За допомогою формули Байєса можно більш точно обчислювати ймовірність, взявши до уваги як і раніше відому інформацію так і дані нових спостережень.

Приклад

Є 3 заводи, що виготовляють одну й ту саму деталь.

Дані наступні умови:

а) При цьому, 1ий завод виготовляє 25%, 2ий - 35%, 3ій - 40% всієї продукції.

б) Ґандж продукції з кожного заводу:

• 5% від усієї продукції - перший завод
• 3% від усієї продукції - другий завод
• 4% від усієї продукції - третій завод

Уся продукція змішується і надходить до продажу.

Виріб обирається навмання із усієї продукції.

Розглядаються гіпотези:

H_i={виріб виготовлено i-им заводом}, i=1, 2, 3.

Відповідні ймовірності подій із умови а):

P(H₁)=0,25 - навмання вибраний виріб з 1го заводу

P(H₂)=0,35 - навмання вибраний виріб з 2го заводу

P(H₃)=0,4 - навмання вибраний виріб з 3го заводу

Нехай A={виріб виявився зіпсованим}. Дані такі умовні ймовірності з умови б):

P(A|H₁) - ймовірність що виріб зіпсований, якщо він з 1го заводу

P(A|H₂) - ймовірність що виріб зіпсований, якщо він з 2го заводу

P(A|H₃) - ймовірність що виріб зіпсований, якщо він з 3го заводу

Формулювання

Теорема виражена т.з. формулою Байєса $\mathbb{P}(A|B)=\frac{ \mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A)}{ \mathbb{P}(B)}$, де

• P(A) — апріорна ймовірність гіпотези A;
• P(A | B) — ймовірність гіпотези A за умови, що відбулась подія B (апостеріорна ймовірність);
• P(B | A) — ймовірність того, що відбулась подія B за умови істинності гіпотези A;
• P(B) — ймовірність того, що відбудеться подія B.

Тут «гіпотеза» – подія, яка за нашим припущенням причинила появу даної події.

Важливим наслідком формули Байєса є формула повної ймовірності події, що залежить від кількох несумісних гіпотез (і тільки від них!)

$\mathbb{P}(B)=\sum_{i=1}^N \mathbb{P}(A_i) \mathbb{P}(B|A_i)$ - ймовірність того, що відбудеться подія B, яка залежить від ряда гіпотез Ai, якщо відомі степені достовірності цих гіпотез (наприклад, заміряні експериментально)