Увігнутість байєсівського ризику

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Увігнутість баєсівського ризику можна доводити двома способами -- простим і де Гроот-івським. Отже, спочатку простим:

1) як видно на першому малюнку, баєсівський ризик формується як мінімум зі всіх ризиків, які присутні в ситуації. /* тобто, на графіку вибирається мінімальна точка по у для кожного х.*/

Розглянемо простішу ситуацію – по суті, баєсівський ризик – це просто перетин півплощин (мал 2)…

А оскільки півплощина – це опукла множина, а перетин опуклих множин – це опукла множина, то і перетин всіх наших півплощин, утворених ризиками, також буде опуклою множиною.

Невеликий коментар: Чому ризик увігнутий? Тобто, чому в точці 0 та 1 (вісь p - ймовірність) ризик нульовий. Це значить, що коли ймовірність випадкової величини θ дорівнює нулю або одиниці (точно відбудеться, або точно не відбудеться P(θ)=0 або P(θ)=1), тоді ми не завдаємо собі жодного ризику,оскільки точно знаємо розподіл.

2) є і інший спосіб, чисто по формулі. (мал 3).

Як мало б бути видно з малюнка (але ми ци будемо зараз доводити):

ρ(α * p₁+(1-α) * p₂,d)≥ α * ρ^*(p₁) + (1-α) * ρ^*(p₂,d).

доводимо ми це за властивістю інтеграла:

ρ((α*p₁+(1-α)p₂),d)=α*ρ(p₁,d)+(1-α)*ρ(p₂,d).

ρ^*(α* p₁+(1-α)*p₂)=inf_d[ρ( (α*p₁ + (1-α)*p₂) ,d)]=inf_d [α*ρ(p₁,d) + (1-α)*ρ(p₂,d)] ≥ α*inf_d [ρ(p₁,d)] + (1-α)*inf_d [ρ(p₂,d) ]= /*крок шо був перед цим було зроблено «за властивістю інфінума» -- сума інфінумів менша або така ж, як інфінум суми.*/ =α* ρ^*(p₁) + (1-α)*ρ^*(p₂). Доведено.

       Доведення грунтується на лінійності ризику - лінійне перетворення розподілу при лінійній функції втрат.