Теорія прийняття рішень та керування-2:Лекція9

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Короткий конспект

Задачі:

1. Оптимальний регулятор (при відсутності збурень)

2. Оптимальний регулятор за наявності збурень

3. Оптимальний регулятор за наявності збурень і похибки вимірбвань

3.а. Побудова оптимального фільтру (Фільтр Калмана)

Випадковий процес перетворюється у випадковий процес

(A − BF)

− Fx = u

x^*=0

u(t) = − F(x ^* − x(t)) = u

---

Оптимальний регулятор

$w_{11}e^2_1(t)+w_{22}e^2_2(t)$

• регулятор, ваги компонент похибки
• $w_{11}e^2_1(t)$ - малий при швидкості
• $w_{22}e^2_2(t)$ - великий при траекторії

$\frac{(x^*(t)-x(t))}{e(t)}$

відхилення по першій компоненті:

$\begin{pmatrix} w_{11} & 0 \\ 0 & w_{22} \end{pmatrix} \cdot (e_1(t) e_2(t)) = \begin{pmatrix} w_{11}e_1(t) \\ w_{22}e_2(t) \end{pmatrix}$

we²(t)

e^T(t)we(t)

$e(t) \cdot we(t)$ - розмірність (n x 1)

$t \in [t_0, t_1]$

$\underset{u(t)}{min}\int_{t_0}^{t_1}x^T(t)\cdot w_x x(t) dt= G(t_0, t_1)$

$G^*(t_0, t_1)=\underset{u(t)}{min}\int^{t_1}_{t_0}(x^*(t)w_x x(t))+u^T(t)dt$

• u^T(t)dt - плата за керування

• $G^*(t_0, t_1)=\underset{u(t)}{min}\int^{t_1}_{t_0}(x^*(t)w_x x(t))+u^T(t)w_u u(t)dt +x^T(t_1)P_1 x(t_1)$ - плата за керування

Варіаційне числення

керування

‎

u(t) - оптимальне кеування + відхилення

$\begin{cases} u(t)=u^0(t)+ \varepsilon \tilde{u}t\\ x(t)=x^0(t) + \varepsilon \tilde{x}t \end{cases} \Rightarrow \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t), x_0$