Теорія ймовірностей:Колоквіум

Матеріал з USIC Wiki

Перейти до: навігація, пошук
Для ФІН

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Недописана стаття

Ця стаття не закінчена. Будь ласка, допишіть її.

Зміст

Що таке стохастичний експеримент.

Стохастичний експеримент - це експеримент, результат якого ми наперед не знаємо.

Що називаємо випадковою подією, достовірною подією, неможливою подією.

Випадкова подія - це така подія, яка може відбутися або не відбутися у результаті стохастичного експерименту.

Достовірна подія - це така подія, яка відбудеться при кожному випробуванні.

Неможлива подія - це така подія, яка не відбудеться при жодному випробуванні.

Що називається сумою (об’єднанням) двох випадкових подій, кількох випадкових подій. Що називається добутком (перетином) двох випадкових подій, кількох випадкових подій.

Сума двох випадкових подій - це подія, яка полягає у тому, що в результаті стохастичного експерименту відбувається хоча б одна із подій.
A \cup B - відбувається або А, або В, або обидві події одночасно.

Добуток двох випадкових подій - це подія, яка полягає у тому, що в результаті стохастичного експерименту відбуваються обидві події.
A \cap B - одночано відбуваються і А, і В.

Що називається подією, протилежною до даної. Коли кажуть, що з однієї випадкової події випливає інша.

Подія, протилежна до даної - це подія, яка полягає у тому, що в результаті стохастичного експерименту дана подія не відбувається.
\bar A - подія А не відбувається.

Якщо з однієї випадкової події випливає інша, то це означає, що в результаті стохастичного експерименту перша подія є сприятливою до другої.
A \Rightarrow B - А є сприятливою до В. У всіх випадках, коли відбувається А, подія В також відбудеться.

Що називається різницею двох випадкових подій. Які події називаються несумісними.

Різниця двох випадкових подій - це подія, яка полягає у тому, що в результаті стохастичного експерименту перша подія відбулася, а друга не відбулася.
A \setminus B - подія А відбулася і при цьому подія В не відбулася.

Несумісними називаються події, добуток яких - неможлива подія.
A \cap B = \varnothing

Що таке частота (відносна) деякої події у серії випробувань. Властивості частоти.

Відносна частота події А - це таке відношення:
W(A) = \frac{m_n}{n}, де m_n\,\! - кількість разів, коли подія А відбулася, а n\,\! - загальна кількість експериментів.

Властивості частоти:

  1. 0 \le W(A) \le 1
  2. W( \Omega ) = 1\,\!
  3. W( \varnothing ) = 0
  4. W( A \cup B ) = W(A)+W(B) за умови, що А і В несумісні

Статистичне (частотне) означення імовірності

Статистична імовірність події А - це така границя
P(A) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{m_n}{n}, тобто це фактично границя відносної частоти, коли кількість експериментів прямує до нескінченності.

Правило суми та добутку в комбінаториці. Основний принцип комбінаторики.

Правило суми. Нехай кількість способів виконання деякої дії можна розбити на k\,\! множини, що попарно не перетинаються, причому в кожній j\,\!-й множині міститься n_j\,\! елементів(способів). Тоді вихідну подію можна виконати n_1 + n_2 + \dots + n_k

Правило добутку. Нехай деяку дію можна розбити на n\,\! послідовних незалежних подій, причому кожну піддію j\,\! можна виконати k_j\,\! способами (j = 1, \dots, n). Тоді вихідну дію можна виконати k_1 \cdot k_2 \cdot \dots \cdot k_n

Дати означенння відповідним поняттям та записати формули для \bar A_n^k, A_n^k, P_n, C_n^k, P_n(n_1,n_2,\dots,n_k)

Кількість розміщень без повторень із n\,\! елементів по k\,\!
A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!},
при n = k\,\!  P_n = n!\,\!

Кількість розміщень з повтореннями із n\,\! елементів по k\,\!
\bar A_n^k = n^k

Кількість комбінацій без повторень із n\,\! елементів по k\,\!
C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}

Кількість комбінацій з повтореннями із n\,\! елементів по k\,\!
\bar C_n^k = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!}

Кількість впорядкованих розбиттів по k\,\! нумерованих комірках місткостями n_1,n_2,\dots,n_k відповідно, причому n_1+n_2+\dots+n_k=n
P_n(n_1,n_2,\dots,n_k) = \frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}

Що таке алгебра. Що таке \sigma\,\!-алгебра випадкових подій.

Система множин S називається алеброю якщо виконуються умови:

  1. \Omega \in S, тобто простір елементарних подій є елементом S
  2. A \in S, B \in S \Rightarrow A \cup B \in S, тобто якщо А і В є елементами S, то з цього випливає, що множина, утворена об’єднанням А та В теж буде елементом S
  3. A \in S \Rightarrow \bar A \in S, тобто з того, що деяка множина є елементом S, випливає те, що множина, утворена доповненням до першої також буде елементом S

Система множин S називається \sigma\,\!-алеброю якщо виконуються умови:

  1. \Omega \in S
  2. \{A_n\}_{n=1}^\infty \subset S \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in S, навідміну від скінченних попарних об’єднань у попередньому варіанті, тут мають бути і зліченні
  3. A \in S \Rightarrow \bar A \in S

Теорема про існування мінімальної \sigma\,\!-алебри, породженої системою множин.

Якщо М - довільна система підмножин \Omega\,\!, то існує єдина \sigma\,\!-алебра S_0\,\! така, що M \subset S_0 і S_0 \subset S,\ \forall S: M \subset S

2^\Omega\,\!, тобто множина усіх підмножин \Omega\,\! міститиме М, а також буде \sigma\,\!-алеброю, тобто існування доведено.

Доведення єдиності. Побудуємо S_0\,\! таким чином: S_0=\bigcap_{M \subset S} S, тобто беремо повний перетин усіх можливих \sigma\,\!-алебр, що задовольняють нашим умовам. Зауважмо одразу, що за побудовою S_0\,\! міститиметься в усіх можливих множиниах S\,\!, тобто одна із умов мінімальності виконується. Далі перевірка аксіоматики:

  1. \forall S: \Omega \in S \Rightarrow \Omega \in S_0
  2. A_1, A_2, \dots , A_n \in S_0 \Rightarrow \forall i A_i \in S_0 \Rightarrow \forall S A_i \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \bigcap_{M \subset S} = S_0
  3. A \in S_0=\bigcap_{M \subset S} \Rightarrow \forall S_i A \in S \Rightarrow \forall S: \bar{A} \in S \Rightarrow \bar{A} \in \bigcap_{M \subset S}=S_0

Що таке \sigma\,\!-алебра борелівських множин? Які множини є борелівськими? Доведення того, що точка є борелівською множиною.

\sigma\,\!-алебра, породжена системо усіх інтервалів називається \sigma\,\!-алеброю борелівських підмножин [a,b]\,\!

Приклади:

  1. Точка.
  2. Зліченна множина.
  3. Відкрита множина як об'єднання зліченної кількості інтервалів
  4. Замкнена множина як доповнення до відкритої

Точка є борелівською множиною, оскільки \{c\} = \bigcap_{n=k}^{\infty}(c-\frac{1}{n},c+\frac{1}{n})

Аксіоми ймовірності. Властивості ймовірності та їх доведення.

Імовірність P(A):S \rightarrow[0,1]

  1. P(A) \ge 0\ \forall A \in S
  2. P(\Omega)=1\,\!
  3. Якщо A_1,A_2,\dots - попарно несумісні (A_i \cap A_j=\varnothing, i \ne j), то P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)

Властивості ймовірності:

  1. 0 \le P(A) \le 1
  2. P(\varnothing)=0
  3. P(\Omega)=1\,\!
  4. P(A \cup B)=P(A)+P(B), якщо А та В несумісні
  5. P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

Що таке випадкова величина

Випадкова величина - це вимірна функція, задана на \Omega\,\!.

Функція \xi : \Omega \rightarrow \mathbb{R} називається випадковою величиною, якщо для будь-якого x \in \mathbb{R} множина {ξ < x} = {ω:ξ(ω) < x} є подією, тобто належить сігма-алгебрі подій \mathbb{F}


Отже, випадкова величина є \mathbb{F} -вимірною функцією, якщо {ω:ξ(ω) < x} належить \mathbb{F} -вимірною для будь-якого x \in \mathbb{R}


Закон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(x), так звану функцію розподілу.

Функцію аргументу x, що визначає ймовірність випадкової події X<x,називають функцією розподілу ймовірностей:


F(x)=P(X<x)

Цю функцію можна розглядатияк: "у наслідок експерименту випадкова величина може набувати значення, меншого за x"

Властивості функції розподілу:

  • 0 ≤ F(x) ≤ 1
  • F(x) є неспадною функцією, тобто: F(x2) ≤ F(x1), якщо x2 > x1
  • P(X=xi)=0 Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність того, що вона набуде конкретного можливого значення завжди дорівнює нулю.
lim F(x), при x->-\infty = lim P(X<x), при x->-\infty -> F(\infty) = F(X < - \infty)=0
lim F(x), при x->\infty = lim P(X<x), при x->\infty -> F(\infty) = F(X < \infty)=1

Випадкову величину називають неперервною, якщо її функція розподілу є неперервною.

Що називається математичним сподіванням випадкової величини

Дискретний розподіл

Математичним сподіванням Mξ (середнім значенням, першим моментом) випадкової величини ξ з дискретним розподілом, що заданий таблично P(ξ=ai)=pi, де i \in Z, називається число:

ξ a1 a2 a3 ... an
p1 p2 p3 ... pn


\sum_{i=1}^n a_i \cdot p_i = \sum_{i=1}^n a_i \cdot P(\xi = a_i)

якщо даний ряд збіжний абсолютно, тобто \sum | a_i | < \infty . Якщо не виконується дана умова, тоді математичного сподівання не існує

Абсолютно неперервний розподіл

Математичним сподіванням Mξ (середнім значенням, першим моментом) випадкової величини ξ з абсолютно неперервним розподілом із щільністю розподілу pξ(x) називається число:

\int_{- \infty}^{+ \infty} xp_{\xi}(x) \,dx

Формула множення для кількох подій.

Для будь-яких подій

Α1,Α2,...,Αn

справедлива рівність:

Зображення:Multily rule.gif

якщо всі умовні ймовірності визначені

Доведення формули для ймовірносі настання хоч однієї з кількох незалежних подій.

Класичне означення ймовірності та його зв'язок із статистичним.

Якщо випробування може мати n різних наслідків і всі вони рівноможливі, тоді імовірність події А обчислюється за формулою P(A)=\frac{k}{n}, де k - кількість наслідків, сприятливих до події А.

Гіпергеометричний розподіл.

Цей розподіл використовують для обчислення імовірності виграшу в лотереї на зразок "6 з 45". Отже маємо початкові умови:

  1. n\,\! куль усього (у лототроні)
  2. n_1\,\! - білі (виграшні)
  3. n-n_1\,\! - чорні (решта)
  4. виймаємо r\,\! куль

Яка імовірність, що серед витягнутих куль буде рівно k\,\! виграшних?
q_k=\frac{C_{n_1}^k \cdot C_{n-n_1}^{r-k}}{C_n^r}

Теореми додавання для двох несумісних, двох сумісних, трьох сумісних подій.

Якщо А та В несумісні

  1. P(A \cup B)=P(A)+P(B)

Якщо А та В сумісні

  1. P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

Якщо А, В та С сумісні

  1. P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)

Подібні міркування можна проводити для будь-якої кількості подій, формула має вигляд формули включень і виключень з курсу дискретної математики.

Геометрична імовірність і коли вона застосовна

Якщо стохастичний експеримент можна інтерпретувати як вибір точки певної геометричної фігури \Omega\,\!, і при цьому події А відповідає деяка множина \mathcal{A} \subset \Omega, то геометричною імовірністю називається відношення P(A)=\frac{\eta(\mathcal{A})}{\eta(\Omega)}. При цьому усі точки (області) множини \Omega\,\! мають бути рівноможливими.

Формулювання та розв'язок задачі про зустріч.

Формулювання та розв'язок задачі Бюфона.

Площина розграфлена паралельними прямими, відстань між якими 2a\,\!, на цю площину кидають голку довжиною 2l,\ l<a\,\!. Яка імовірність того, що при підкидуванні голка перетне пряму?
\Omega=\{(x,\varphi) | x \in [0,a], \varphi \in [0, \pi) \} - двовимірна геометрична інтерпретація: - x\,\! відстань до найближчої прямої, \varphi\,\!- кут нахилу голки відносно прямої (тобто якщо голка лежить паралельно до прямої, то цей кут дорівнюватиме нулю).
Площу фігури, яка відповідає тому, що голка перетинає пряму, можна обчислити як інтеграл S_1=\int_0^{\pi} l \sin \varphi \, d\varphi = l (- \cos \varphi)|_0^{\pi}=2l
Звідси можна обчислити шукану імовірність: P(intersects)=\frac{S_1}{S_{total}}=\frac{2l}{\pi a}

Що таке умовна ймовірність. Означення незалежності двох подій.

Умовна імовірність - це імовірність настання А за умови настання події В. P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Звідси можна зробити такі наслідки:

  • P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)
  • P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P_A(B) \cdot P_{A \cap B} (C)

Події називають незалежними, якщо P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), тобто P(A)=P_B(A)\,\!

Означення незалежності кількох подій (в сукупності), довести зв'язок з попарною незалежністю. Приклад Бернштейна.

Події A_1, A_2, \dots , A_n\,\! називають незалежними в сукупності, якщо імовірність перетину будь-яких кількох з них дорівнює добутку відповідних імовірностей. Якщо події незалежні в сукупності, то вони автоматично попарно незалежні, бо можна з означення брати попарні перетини подій, і вони дорівнюватимуть добутку імовірності першої події на другу. Але з попарної незалежності зовсім не випливає незалежність у сукупності.

Для ілюстрації зазначеного факту, існує (можливо дещо штучний) приклад Бернштейна. Нехай маємо тетраедр (піраміда з чотирма гранями-трикутниками). Його грані пофарбовані таким чином: перша - червона, друга - зелена, третя - синя, а четверта містить усі три кольори разом.
Нехай маємо такі три події: на стіл потрапив червоний колір, на стіл потрапив зелений колір та на стіл потрапив синій колір. Імовірність кожної з них дорівнюватиме \frac{1}{2}, бо усього граней чотири, а колір потрапляє на стіл у двох випадках: або з однокольорової, або з трикольорової грані.
Тепер обчислимо імовірність того, що на стіл потрапив і червоний і зелений колір (перетин цих подій). За класичним означенням ця імовірність дорівнюваиме \frac{1}{4}, бо можлива лише в одному випадку з чотирьох. З іншого боку вона дорівнює добуткові імовірностей подій потрапляння червоного і зеленого кольорів. Аналогічні міркування справедливі і для решти пар кольорів. Отже, маємо попарну незалежність.
Але імовірність потрапляння на стіл усіх трьох кольорів теж дорівнює \frac{1}{4}, і не дорівнює добуткові трьох імовірностей для кожного з кольорів, яка у цьому випадку мала б бути рівною \frac{1}{8}, тому незважаючи на наявність попарної незалежності, ці події не будуть незалежними в сукупності.

Довести формули повної імовірності та Байєса

умовний розподіл

Події H_1, H_2, \dots , H_n утворюють повну групу подій, якщо:

  1. \bigcup_{i=1}^n H_i=\Omega
  2. H_i \cap H_j = \varnothing, i \ne j

Формула повної імовірності.
P(A)=P(A \cap \Omega)=P \left (A \cap \left (\bigcup_{i=1}^n H_i \right ) \right )=P \left ( \bigcup_{i=1}^n \left (A \cap H_i \right ) \right )=\sum_{i=1}^n P(A \cap H_i)=\sum_{i=1}^n P(H_i) \cdot P_{H_i} (A)

Формули Байєса.
P_A (H_k)=\frac{P(A \cap H_k)}{P(A)}= \frac{P(H_k) \cdot P_{H_k} (A)}{ \sum_{i=1}^n P(H_i) \cdot P_{H_i}(A) }



Схема Бернуллі. Біноміальний розподіл та формула для найімовірнішого значення кількості успіхів.

  • послідовність незалежних експериментів
  • p-успіх
  • q=1-p-невдача
  • n-разів
  • Pn(K)-ймовірність, що буде успіх K-разів
  • Pn(K)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}-ймовірність того, що успіхів буде k
  • Набір чисел Pn(0),Pn(1),...,Pn(n)-біноміальний розподіл


  • Pn(K)<Pn(K+1)
  • C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} < C_n^{k+1} \cdot p^{k+1} \cdot q^{n-k-1}
  • \frac{n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1)}{k!} \cdot q < \frac{n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k)}{(k+1)!} \cdot p \Rightarrow q < \frac{n-k}{k+1} \cdot p
  • kp+kq+q<np; k<np-q
  • Якщо k>np-q, то Pn(k) > Pn(k + 1), np-q ≤ k ≤ np+p - найімовірніше число успіхів
  • k - найімовірніше число успіхів у схемі Бернулі


[1]

Формула Пуассона для малоімовірних подій. Коли вона застосовна?


Якщо в схемі Бернуллі np = λ постійне, то
P_{n}(k) \rightarrow \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda}, n \rightarrow\infty, \lambda=np-const


Приклад: Відправлено 100 sms. Ймовірність того, що sms не дійде p=0,02. Яка ймовірність того, що всі sms не дійдуть?
Розв'язок:
λ = 2, що означає, що 2 sms зі 100 не доходять.
k=0 - жодна sms не дійшла; 0 успіхів у схемі Бернуллі.
P_{100}(0) = \frac{\lambda^0}{0!} e^{-\lambda} = e^{-2}

[2]

Локальна теорема Лапласа. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Локальна Теорема Лапласа

Використовується для наближенного обчислення кількості успіхів у схемі Бернуллі:
P_{n}(k) = C_{n}^{k}p_{}^{k}q_{}^{n-k} = \frac{\phi(x)}{\sqrt{npq}}
x = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}
\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e_{}^{-\frac{x_{}^{2}}{2}}

Інтегральна Теорема Муавра-Лапласа

P_{n}(k_{1} \le k \le k_{2}) \approx \Phi(x_{2}) - \Phi(x_{1})
x_{i} = \frac{k_{i}-np}{\sqrt{npq}}
\Phi(x) = \int\limits_{0}^{x}\phi(t)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x}e^{\frac{t^2}{2}}dt

[3]


Функція розподілу та її властивості.


P{ξ<x}=Fξ(x)

Властивості функції розподілу

  • Функція розподілу монотонно неспадна: x1<x2 ⇒ F(x1) ≤ F(x2)
  • Функція розподілу є неперервною зліва: F(x-0) = F(x)
  • \lim_{x \to -\infty}F(x)=0, \lim_{x \to +\infty}F(x)=1

Що таке розподіл випадкової величини?

[4]

Означення та формули обчислення математичного сподівання та дисперії у випадку дискретної випадкової величини.


ξ називається дискретною випадковою величиною, якщо множина її значень скінченна або зліченна.


\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|} \xi & x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_n & ... \\ \hline P&p_1&p_2&p_3&...&p_n&...\\ \end{array}


Pξ = xi = pi,i = 1,2,...

[5]

Властивості математичного сподівання


  1. MC = C
  2. M(Cξ) = CMξ
  3. M(ξ1+ξ2) = Mξ1 + Mξ2
  4. Якщо ξ1,ξ2 незалежні, то M(ξ1ξ2)=(Mξ1)(Mξ2)

Властивості дисперсії


Дисперсія - середнє випадкове значення квадрату відхилення випадкової величини від свого середнього значення.

  1. D\xi \ge 0
  2. D(Cξ) = C2Dξ
  3. Dξ = Mξ2 − (Mξ)2
  4. Якщо ξ1 та ξ2 нзалежні, то D(ξ1 + ξ2) = Dξ1 + Dξ2

[6]

Основні дискретні розподіли: біноміальний, геометричний, Пуассона. Їхні означення та характеристики.

Біноміальний (кількість успіхів в схемі Бернулі)


P{ξ = k} = C_n^k p^k q^{n-k}, k=\overline{0,n}

Пуассона


P{ξ = k} = e^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}, k=0,1,...

Геометричний (кількість спроб до першого успіху в сх. Бернулі)


P{ξ = k} = qk − 1p,k = 1,2,...


[7]

Вивід математичного сподівання геометричного розподілу та розподілу Пуассона.

Геометричний


M\xi = \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}p = p\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1} = p\sum_{k=1}^{\infty} (q^k)^\prime = p \left ( \sum_{k=1}^{\infty} q^k \right )^\prime =

= p\lim_{n \to \infty}\left ( \frac{q - q^{n+1}}{1 - q} \right )^\prime = p\lim_{n \to \infty}\left ( \frac{(1-(n+1)q^n)(1-q)+(q-q^{n+1})}{(1 - q)^2} \right )^\prime =
= \left | q^n\rightarrow 0, q<1, n\rightarrow\infty \right | = p\frac{1-q+q}{(1-q)^2} = p\frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}

Пуассона

Що таке щільність розподілу?


Fξ(x) = P(ξ<x) - функція розподілу
Припустимо, що ∃ функція fξ(x) інтегрована на ∀[a,b]
F_\xi (b) - F_\xi (a) = \int\limits_{a}^{b}f_\xi (x)dx \forall a,b \in R
fξ - називається щільністю розподілу випадкової величини ξ або диференціальною функцією розподілу.

Математичне сподівання абсолютно-неперервної випадкової величини та математичне сподівання функції від випадкової величини.


fξ - називається щільністю розподілу випадкової величини ξ або диференціальною функцією розподілу.


Якщо ∃ F′ξ(x0), то F′ξ(x0)=fξ(x0)
M \xi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f_\xi (x)dx

Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли. Їхні характеристики.

Рівномірний


Випадкова величина ξ має рівномірний розподіл на проміжку [a,b], якщо щільність розподілу:
f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x\in[a,b] \\ 0, & x\notin[a,b] \end{cases}

Показниковий


F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & x\ge 0 \end{cases}


Нормальний

[8]


Сформулювати властивість "відсутності післядії" для показникового розподілу (з доведенням)

Інтерпретація властивості


P(\xi<s+t | \xi\ge t) = P(\xi<s) = \bigg| P(A|B)=\frac{A\cap B}{P(B)}\bigg| = \frac{P((\xi<s+t)\cap(\xi\ge t))}{P(\xi\ge t)} =

= \frac{P(t\le\xi<s+t)}{1-P(\xi\le t)} = \bigg| P(a\le\xi<b)=F(b)-F(a)\bigg| = \frac{F(s+t)-F(t)}{1-F(t)} =
= \frac{(1-e^{-\lambda(s+t)}) - (1-e^{-\lambda t})}{1 - (1-e^{-\lambda t})} = \frac{e^{-\lambda t} - e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda t}} = \frac{e^{-\lambda t}(1-e^{-\lambda t})}{e^{-\lambda t}} = 1 - e^{-\lambda s} = F(s) = P(\xi<s)

TODO:

Властивості функції Гауса. Властивості функції Лапласа.

Абсолютно-неперервна випадкова величина.

Вивід математичного сподівання рівномірного розподілу (неперервного)

Отримано з http://wiki.usic.org.ua/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B9%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9:%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BA%D0%B2%D1%96%D1%83%D0%BC
Особисті інструменти