Рандомізовані рішення

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Рандомізація та змішані рішення.

В задачах рішення часто буває дійсним припущення, що рішення d є D вибирається за допомогою додаткової процедури, наприклад, підкидаючи монету. Тобто, приймається змішане рішення – спочатку рішенням приписуються ймовірності, а тоді, згідно з цими ймовірностями, вибирається одна з них /* рішення */.

А таких випадках, втрати цього рішення, згідно з припущенням про середню корисність будуть вираховуватися так: L(w,d)=SUM_{_i=1}^INF [p_i * L(w,d_i)]. (1)

/*та, стосовно того «припущення про середню корисність, нас мучили на лекціях і навіть зараз нічого конкретного, принаймні, я – не знаю.*/

/*Якщо простір подій нездіченний, то рандомізовані рішення можна позначати більш загально – якийсь розподіл на сігма-алгебрі, підмножин множини D */

Рандомізовані рішення позначаються М. тоді зрозуміло, що чисті рішення входять в рандомізовані (D є M): вистачає поставити ймовірності при всіх рішеннях 0, крім того, яке ми хочемо подати.

/*якщо є D={d₁,d₂,d₃}, то рішення m є M подається як (m=α*d₁+β*d₂+(1- α- β)*d₃). m, відповідне чистому рішенню d₁: m=1*d₁+0*d₂+0*d₃.*/

Стосовно рандомізованих рішень важливим є твердження, що рандомізовані рішення не можуть зменшити мінімальний ризик, який було знайдено на чистих рішеннях.

Згідно з формулою (1), ризик рандомізованого рішення – це середньозважений ризик, розрахований з функцій втрат чистих рішень. З цього випливає, що, якщо існує ризик ρ(P,d) змішаного рішення, то його значення дорівнює суміші ризиків ρ(P,d_i) чистих рішень d_i. З чого випливає, що

Inf_dєM [ρ(P,d)] = inf _dєD [ρ(P,d)] =ρ^*(P).

/*
хз шо тут з чого випливає, простими словами тут написано, що якщо є відрізок, то мініум  
його лежить на кінцях, і ніяк не можу бути на середині.

Тобто, фактично, рандомізовані рішення задають всі можливі комбінації чистих рішень (з 2-х рішень роблять відрізок, 
з більше – якусь  фігуру, а ця площина, що утворюється (гіперплощина у вищих просторах) не може виходити 
за межі твірних точок, якими і є чисті рішення. (ну, принаймні, я так розумію.)
*/

/*
та, і всяке бла-бла-бла про важливість рандомізації можна вже придумати самому, 
я не буду писати (ну, шо багато ситуацій такі і є, що це допомагає наблизитися до реальності, 
призводять результати ближче до дійсності…
*/