Основи математичного аналізу:Колоквіум

Матеріал з USIC Wiki

Перейти до: навігація, пошук
Для ФІН

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Зміст

Вектори і дії над ними. Різні рівняння прямої на площині (з доведенням).

Полярна система координат. Зв`язок між полярними і декартовими координатами. Приклади.

Поняття множини, підмножини, операції з множинами. Приклади.

Означення функції, образу, прообразу. Сюр’єктивне, ін’єктивне, бієктивне відображення. Обернена функція. Приклади.

Числові множини.Множина дійсних чисел. Обмежені множини , точна верхня і точна нижня межа.Теорема про існування точної верхньої (точної нижньої) межі. Потужність множин, зліченні множини. Приклади.

Числові послідовності. Способи задання послідовності. Означення границі послідовності. Приклади.

Теорема про єдиність границі послідовності (з доведенням).

Теорема про обмеженість збіжної послідовності (з доведенням).

Теорема про границю монотонної послідовності. Приклади.

Теорема про арифметичні дії над збіжними послідовностями . Приклади.

Теорема про три послідовності (про “два міліціонери”). (з доведенням).

Збіжність послідовності \left \{ \left (1+ \frac {1}{n} \right ) ^n \right \}, n \ge 1. Число e. (з доведенням).

Поняття підпослідовності. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності. Приклади.

Функції дійсного аргументу. Способи задання функції.Основні елементарні функції, їх властивості монотонність, парність, непарність, періодичність). Приклади.

Границя функції в точці. Означення за Коші і за Гейне, їх еквівалентність.Приклади.

Перша чудова границя: . Наслідки (з доведенням).

Друга чудова границя. Наслідки (з доведенням).

Неперервні функції. Властивості функцій неперервних на відрізку. Приклади.

Односторонні границі. Класифікація точок розриву. Приклади.

Похідна. Фізичний та геометричний зміст. Теорема про зв`язок між диференційовністю і неперервністю (з доведенням). Приклади.

Правила обчислення похідних. Таблиця похідних. Приклади.

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференційному численні. У цій статті міститься список похідних багатьох функцій.

У цих формулах х - змінна, f - функція цієї змінної. u і v — довільні функції, що диференціюються, а с — константа. Цих правил і формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

Загальні правила знаходження похідних

Константа

\left({c*f}\right)' = c*f', де \left(c\right) = const

Сума і різниця похідних

\left({U + V}\right)' = U' + V'
\left({U - V}\right)' = U' - V'

Похідна від добутку і частки

\left({u*v}\right)' = {u'v+uv'}
\left({u \over v}\right)' = {{u'v-uv'} \over {v^2}}, \qquad v \ne 0

Похідна від складної функції

\left({u(v(x))}\right)' = {u'(v) * v'(x)}

Похідні від різних функцій

Похідні від простих функцій

\left (c\right )' = 0
\left (x\right )' = 1
\left (cx\right)' = c
|x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
\left(x^c\right)' = cx^{c-1}, де \left(x^c\right) і \left(x^{c-1}\right) - визначені
\left({1 \over x^c}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
\left({1 \over x}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -{1 \over x^2}
\left(\sqrt{x}\right)' = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

Похідні від експоненціальних і логарифмічних функцій

\left (a^x\right)' = {a^x \ln a},\qquad a > 0
\left (e^x\right)' = e^x
\left (\log_a x\right)' = {1 \over x \ln a},\qquad a > 0, a \ne 1
\left (\ln x\right)' = {1 \over x}

Похідні від тригонометричних функцій

\left (\sin x\right)' = \cos x
\left (\cos x\right)' = -\sin x
\left (\tan x\right)' = { 1 \over \cos^2 x}
\left (\sec x\right)' = \tan x \sec x
\left (\cot x\right)' = { -1 \over \sin^2 x}
\left (\csc x\right)' = -\cot x \csc x
\left (\arcsin x\right)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
\left (\arccos x\right)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
\left (\arctan x\right)' = { 1 \over 1 + x^2}
\left (\arcsec x\right)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\left (\arccot x\right)' = {-1 \over 1 + x^2}
\left (\arccsc x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Похідні від гіперболічних функцій

\left (\sinh x\right)' = \cosh x
\left (\cosh x\right)' = \sinh x
\left (\tanh x\right)' = \mbox{sech}^2 x
\left (\mbox{sech} x\right)' = - \tanh x \mbox{sech} x
\left (\mbox{coth} x\right)' = - \mbox{csch}^2 x
\left (\mbox{csch} x\right)' = - \mbox{coth} x \mbox{csch} x
\left (\mbox{arcsinh} x\right)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
\left (\mbox{arccosh} x\right)' = {-1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
\left (\mbox{arctanh} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}
\left (\mbox{arcsech} x\right)' = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
\left (\mbox{arccoth} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}
\left (\mbox{arccsch} x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}
Отримано з http://wiki.usic.org.ua/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7%D1%83:%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BA%D0%B2%D1%96%D1%83%D0%BC
Особисті інструменти