Основи математичного аналізу:Іспит

Матеріал з USIC Wiki

Перейти до: навігація, пошук

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Портал:Інформаційні науки

Основи математичного аналізу:Колоквіум

Зміст

1 Означення границі послідовності. Теорема про обмеженість збіжної послідовності.
2 Теорема Веєрштраса про існування границі монотонної послідовності.
3 Теорема про три послідовності (про "затиснуту" послідовність).
4 Збіжність послідовності . Число e.
5 Границя функції в точці. Означення за Коші і за Гейне, їх еквівалентність.
6 Поняття неперервності функції, неперервність функції в точці, точки розриву.
7 Теореми про властивості неперервних на відрізку функцій (теорема про проміжні значення, теореми Веєрштраса).
8 Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші.
9 Дослідження функції за допомогою похідних. Монотонність та похідна. Локальний екстремум. Опуклість, точки перегину. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції, заданої на відрізку.
10 Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца.
11 Похідна інтеграла як функції верхньої межі.
12 Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ, довжини дуги кривої, об’єму, поверхні тіла обертання.
13 Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд (α = 1).
14 Ознаки порівняння збіжності знакододатних числових рядів.
15 Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності знакододатніх числових рядів.
16 Абсолютна і умовна збіжність ряду. Ознака Лейбніца збіжності знакопочергового ряду.
17 Степеневий ряд, його радіус збіжності, теорема Коші-Адамара
- 17.1 Точна нижня (infinum) та точна верхня(supremum) межа
18 Розклад функцій в ряд Тейлора, основні розклади.
- 18.1 Алгоритм розкладу в ряд Тейлора
19 Теореми про диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.
20 Алгоритм побудови графіка функції.
21 Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.
22 Теорема про арифметичні дії над збіжними послідовностями.
23 Поняття диференціала та його застосування до наближених обчислень.
24 Невласні інтеграли I-го та II-го роду.
25 Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій і функціонального ряду,

Означення границі послідовності. Теорема про обмеженість збіжної послідовності.

Числовою послідовністю називається довільна функція $f: N \to R$ , тобто функція, задана на множині натуральних чисел.

Позначення $\{ a_n: n \ge 1 \}$ , або $(a n)$ , або $\{ a_1, a_2, \dots, a_n, \dots \}$ .

Тут символом $a k$ позначено f(k),тобто це є k-ий елемент послідовності.

Послідовності задають:

1) за допомогою формул n-го члена;

2) за допомогою рекурентної формули.

Послідовність $a n$ називається обмеженою, якщо існує таке M > 0, що для будь-якого $n \ge 1 : |a_n| \le M$ .

Необмежена $a n = n$ - послідовність натуральних чисел.

Елемент $a k$ називається максимальним (мінімальним) членом послідовності $a_n, n \ge 1$ , якщо для будь-якого $n \ge 1 : a_n \le a_k$ (для будь-якого $n \ge 1 : a_n \ge a_k$ ).

$(-1)^n \cdot (1 - \frac {1}{n})$ — обмежена послідовність, не має максимального і мінімального члена.

Послідовність $\{ a_n : n \ge 1 \}$ називається

строго зростаючою, якщо для будь-якого $n \ge 1 : a_{n+1} > a_n$ ,

неспадною, якщо для будь-якого $n \ge 1 : a_{n+1} \ge a_n$ ,

строго спадною, якщо для будь-якого $n \ge 1 : a_{n+1} < a_n$ ,

незростаючою, якщо для будь-якого $n \ge 1 : a_{n+1} \le a_n$ .

Послідовність називається монотонною, якщо вона неспадна або незростаюча.

Границя числової послідовності.

Нехай $a \in R, \varepsilon > 0$

$\varepsilon$ -околом (числа) точки а називається такий інтервал $(a - \varepsilon; a + \varepsilon) = \{x \in R \ \ |\ \ |x - a| < \varepsilon \}$ .

Число а називається границею послідовності $\{ a_n : n \ge 1 \}$ , якщо для будь-якого $\varepsilon > 0$ існує $n_0 \in N$ , що для будь-якого $n \ge n_0 : |a - a_0| < \varepsilon$ .

Позначення границі: $\lim_{n \to \infty }a_n = a$ або $a_n \to a, n \to \infty$ .

Послідовність називається збіжною, якщо вона має деяку границю $a \in R$ , яка є числом.

Послідовність називається розбіжною, якщо вона не має границі.

Основні теореми

1 (про єдиність границі) Послідовність не може мати більше однієї границі.

2 (про обмеженість збіжної послідовності) Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Доведення. Нехай $\lim_{n \to \infty }a_n = a, a \in R$ .

Доведемо, що послідовність $(a n)$ обмежена. З означення ліміту випливає, що для $\varepsilon = 1$ існує $n_0 \in N$ , що для будь-якого $n \ge n_0 : |a_n - a| < 1$ .

Тоді для будь-якого $n \ge n_0 : |a_n| = |(a_n - a) + a| \le |a_n - a| + |a| < |a| + 1$ , тобто для будь-якого $n \ge n_0 : |a_n| \le |a| + 1 \qquad \qquad\qquad \qquad (1)$

Врахувавши (1), виберемо $M = max \{|a_1|,|a_2|, \dots, |a_{n-1}|, |a|+1 \}$ .

Тоді з врахуванням (1) для будь-якого $n \ge 1: |a_n| \le M$ , тобто $(a n)$ - обмежена.

3 (про дії з границями) Нехай послідовність $a n$ збігається до а, послідовність $b n$ до b, $\lim_{n \to \infty }a_n = a, \ \ \lim_{n \to \infty }b_n = b$ , тоді

1) для будь-якого $c \in R$ , c - фіксоване : $\lim_{n \to \infty}c \cdot a_n = c \cdot a$ ,

2) $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + b$ ,

3) $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$ ,

4)якщо додатково $b \ne 0$ і для будь-якого $n \ge 1 \ \ b_n \ne 0$ , то $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac {a}{b}$

З 1) і 2) випливає: $\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = a - b$ .

4 (про три послідовності) Нехай задані 3 послідовності $(a_n), \ (b_n), \ (c_n)$ задовольняють умови:

1) існує $\lim_{n \to \infty }a_n = \lim_{n \to \infty }b_n = a$ - число,

2) існує $n_0 \in N$ , що для будь-якого $n \ge n_0 : a_n \le c_n \le b_n$ .

Тоді існує $\lim_{n \to \infty }c_n=a$ .

5 (про нерівності для границь)

Якщо $\lim_{n \to \infty }a_n = a, \lim_{n \to \infty }b_n = b$ , а також $\exists n_0 \in N, \forall n \ge n_0 : a_n \le b_n$ , то для границь послідовностей справджується нерівність $a < b$ .

6 (Вейєрштрасса про границю монотонної послідовності)

Монотонна і обмежена послідовність має границю.

Теорема Веєрштраса про існування границі монотонної послідовності.

Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона збіжна.

Доведення (для випадку монотонно неспадної послідовності ( $a n$ )).

Розглянемо множину $A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n, \dots \}, \ A \ne \varnothing$ , яка складається з елементів цієї послідовності. Тоді А - обмежена зверху, бо послідовність ( $a n$ ) обмежена за умовою теореми. Звідси, за теоремою про існування супремуму, існує $a^* = sup \ A$ . Доведемо, що $lim(a_n)=a^*, \ n \to \infty$ .

Нехай $\varepsilon > 0$ заданий. Існує $n_0 \in N$ , такий, що $a^* - \varepsilon < a_{n_0} \le a^* \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$ ,

бо інакше для всіх $n \ge 1:\ a_n \le a^* - \varepsilon$ . Тоді $a^* - \varepsilon$ - верхня межа А, менша за $a^* = sup \ A$ . А це неможливо.

Оскільки ( $a n$ ) - неспадна, то із (1) випливає, що для всіх $n \ge n_0 :\ \ a^* - \varepsilon < a_{n_0} \le a_n \le a^*$ . Звідси, для всіх $n \ge n_0 :\ \ |a_n - a^*| < \varepsilon$ . Номер $n 0$ - шуканий. Теорему доведено.

Теорема про три послідовності (про "затиснуту" послідовність).

Нехай задані 3 послідовності $(a_n), \ (b_n), \ (c_n)$ задовольняють умови:

1) існує $\lim_{n \to \infty }a_n = \lim_{n \to \infty }b_n = a$ - число,

2) існує $n_0 \in N$ , що для будь-якого $n \ge n_0 : a_n \le c_n \le b_n$ .

Тоді існує $\lim_{n \to \infty }c_n=a$ .

Доведення. Нехай зафіксовано $\varepsilon > 0$ . Тоді, за означенням, існують такі $n 0', n 0''$ , що для всіх $n \ge n_0': \ a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$ , а для всіх $n \ge n_0'': \ a - \varepsilon < b_n < a + \varepsilon$ .

Позначимо через $n 0$ найбільший з номерів $n 0', n 0''$ . Тоді для всіх $n > n_0 :\ a - \varepsilon < a_n \le b_n \le a + \varepsilon$ , тоді оскільки $a_n \le c_n \le b_n$ , то $a - \varepsilon < c_n < a + \varepsilon$ , а це означає, що $\lim_{n \to \infty} c_n = a$ .

Збіжність послідовності $\left \{ \left (1+ \frac {1}{n} \right ) ^n \right \}, n \ge 1$ . Число e.

Нехай $\forall n \ge 1: \ a_n = \left (1 + \frac {1}{n} \right )^n, b_n = \left ( 1 + \frac {1}{n} \right ) ^ {n+1}$ .

Теорема.

Виконуються такі твердження:

$\forall n \ge 1: \ a_n < b_n$ ;
послідовність $a n$ строго зростає;
послідовність $b n$ строго спадає;
$a n$ збіжна.

Доведемо останнє твердження.

Із перших трьох тверджень слідує:

$\forall n \ge 1: \ a_1 < a_n < b_n < b_1$ ,

отже

$\forall n \ge 1 : \ a_n \in (a_1, b_1)$ ,

тобто $a n$ - обмежена, також вона монотонна, отже, за теоремою Веєрштраса про збіжність монотонної послідовності, $a n$ збігається.

Границя послідовності $\forall n \ge 1: \ a_n = \left (1 + \frac {1}{n} \right )^n$ позначається символом е. $e \approx 2.71$

TODO: написати доведення перших 3 пунктів!!!

Границя функції в точці. Означення за Коші і за Гейне, їх еквівалентність.

$A \subset R, A \ne \varnothing$ .

Число $x_0 \in R$ називається граничною точкою множини А, якщо існує $\{ x_n:\ n \ge 1 \} \subset A$ ,така, що

$\forall n \ge 1:\ x_n \ne x_0$ ;
$x_n \to x_0, n \to \infty$

Символ $+\infty (-\infty)$ назив граничною точкою множини А,якщо :

$\exists \{ x_n: \ n \ge 1 \} \subset A$ , така, що

$x \to +\infty, n \to \infty (x \to -\infty, n \to \infty)$

Означення границі за Коші.

$f: \ A \to R,\ x_0 \in R, \ x_0$ - гранична точка А. Число $p \in R$ називається границею f(x) при $x \to x_0$ , якщо $\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 : \ \ \forall x \in A, \ \ \ |x - x_0| < \delta, \ x \ne x_0 :\ |f(x) - p| < \varepsilon$ .

Позначення: $\lim_{x \to x_0} (f(x)) = p$ або $f(x) \to p, x \to x_0$ .

Означення границі за Гейне.

$f : \ A \to R, \ x_0$ - гранична точка А (можливо, $x_0 = +\infty$ або $x_0 = -\infty$ ).

$lim_{x \to x_0}(f(x)) = p$ (можливо, $p \in R$ , або $p = +\infty$ , або $p = -\infty$ ), якщо $\forall \{ x_n:\ n \ge 1 \} \subset A$ , такої, що

$\forall n \ge 1:\ x_n \ne x_0$ ;
$x_n \to x_0, n \to \infty$

виконується $f(x_n) \to p, n \to \infty$ .

Означення за Коші і за Гейне еквівалентні.

Зауваження: означення за Гейне застосовується для доведення того факту, що $\lim_{x \to x_0} f(x)$ не існує.

Поняття неперервності функції, неперервність функції в точці, точки розриву.

$f: \ A \to R, x_0$ - гранична точка множини А, $x_0 \in A$ .

Число $x_0 \in R$ називається граничною точкою множини А, якщо існує $\{ x_n:\ n \ge 1 \} \subset A$ , така, що

$\forall n \ge 1:\ x_n \ne x_0$ ;
$x_n \to x_0, n \to \infty$

Символ $+\infty (-\infty)$ називається граничною точкою множини А, якщо :

$\exists \{ x_n: \ n \ge 1 \} \subset A$ , така, що

$x \to +\infty, n \to \infty (x \to -\infty, n \to \infty)$

Нехай маємо функцію $f:\ A \to R, x_0 \in A, x_0$ - гранична точка А.

f називається неперервною в точці $x 0$ , якщо $\lim f(x) = f(x_0)$ при $x \to x_0$ .

Якщо $x_0 \in A \ \ \ i \ \ \ x_0$ - ізольована (тобто негранична), то за означенням вважають, що f(x) - неперервна в точці $x 0$ .

Позначення: $f \in C(a)$ - f неперервна в точці a.

f називається неперервною в множині А, якщо вона неперервна в кожній точці множини А.

Позначення: $f \in C(A) \leftrightarrow$ f неперервна на множині А.

Якщо функція не є неперервною в точці а, то кажуть, що вона розривна в цій точці і пишуть $f \notin C(a)$ . Функція може бути розривною тільки в граничній точці області визначення, і справедливо одне з двох:

1. або границі $\lim_{x \to a} f(x)$ не існує

2. або вона існує, але $\lim_{x \to a} \ne f(a)$ .

$A \subset R, \ (x_0, x_0 + \gamma) \subset A, \ f: \ A \to R$ .

Число р називається границею справа функції f в точці $x 0$ , якщо для всіх $\varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0$ , таке, що

$\forall x:\ x_0 < x < x_0 + \delta,\ x_0 \in A$ справджується $|f(x) - p|< \varepsilon$ .

Позначення: $\lim_{x \to x_0 + 0} f(x) = p$ або $f (x 0 + 0) = p$ .

$A \subset R, \ (x_0, x_0 - \gamma) \subset A, \ f: \ A \to R$ .

Число р називається границею зліва функції f в точці $x 0$ , якщо для всіх $\varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0$ , таке, що

$\forall x:\ x_0 - \delta < x < x_0, \ x_0 \in A$ справджується $|f(x) - p|< \varepsilon$ .

Позначення: $\lim_{x \to x_0 - 0} f(x) = p$ або $f (x 0 - 0) = p$ .

Границя f в точці $x 0$ існує, якщо в цій точці існує границя справа і границя зліва. f - неперервна в точці $x 0$ , якщо $f (x 0) = f (x 0 + 0) = f (x 0 - 0)$ .

Теорема про зв’язок звичайної і односторонньої границі

Звичайна границя існує тоді і тільки тоді, коли існує одностороння.

$\exists \lim_{x \to 0} f(x) = p \Leftrightarrow \exists f(x_0 + 0), \ \exists f(x_0 - 0), \ f(x_0 + 0) = f(x_0 - 0) = p$

Наслідок. f - неперервна в точці $x_0 \Leftrightarrow f(x_0) = f (x_0 + 0) = f (x_0 - 0) \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

$(x_0 - \gamma, x_0 + \gamma) \subset A, \ A \subset R$ .

Кажуть, що f має розрив першого роду, якщо існують скінченні границі в точці $x 0$ зліва і справа, тобто існують скінченні $f (x 0 + 0), f (x 0 - 0)$ , але не виконується хоча б одна з рівностей (1).

Кажуть, що f має розрив другого роду в точці $x 0$ , якщо хоча б одна з границь $f (x 0 + 0)$ або $f (x 0 - 0)$ не існує або є нескінченною.

Теореми про властивості неперервних на відрізку функцій (теорема про проміжні значення, теореми Веєрштраса).

1) Теорема Коші (про проміжні значення).

$f \in C ([a; b])$ і числа f(a) і f(b) - різних знаків. Тоді $\exists c \in (a; b): \ f(c) = 0$

2) Перша теорема Веєрштраса.

Якщо $f \in C (\{a; b\})$ (кінці відрізку відрізані), то f - обмежена на [a, b].

Для $f \in C ([a; b])$ твердження не завжди правильне.

(коли (a; b])

3) Друга теорема Веєрштраса.

Якщо $f \in C ([a; b])$ , то f набуває найбільше і найменше значення, тобто

$\exists x_* \in [a; b] : \ \forall x \in [a; b] \ f(x) \ge x_*$ ( $x *$ - min на відрізку [a; b])

$\exists x^* \in [a; b] : \ \forall x \in [a; b] \ f(x) \le x^*$ ( $x *$ - max на відрізку [a; b])

Зауваження: можна побудувати $f \in C ([a; b])$ таку, що f – обмежена на [a; b] і f не досягає мінімального значення.

(наближається, але не досягає значення 0).

Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші.

Теорема Ферма.

Нехай $f:\ (a,b) \to R, \ x_0 \in (a,b), \ f(x_0) = \max_{x \in [a; b]} f(x)$ abo $f(x_0) = \min_{x \in [a; b]} f(x)$ i $\exists f'(x_0)$ .

Тоді обов'язково $f'(x 0) = 0$ .

Доведення для випадку, коли $f (x 0) = max f (x)$ .

При $x \in (a,b), \ x < x_0: \ f(x) \le f(x_0)$ , тому $f(x) - f(x_0) \le 0, \ x - x_0 < 0 \ \Rightarrow$ за означенням похідної і теоремою про зв'язок звичайної і односторонньої границі:

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0-0} \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0$

При $x \in (a,b), \ x > x_0: \ f(x) \ge f(x_0)$ , тому $f(x) - f(x_0) \ge 0, \ x - x_0 > 0 \ \Rightarrow$ за означенням похідної і теоремою про зв'язок звичайної і односторонньої границі:

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0+0} \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0$

Тому: $\begin{cases} f'(x_0) \ge 0 \\ f'(x_0) \le 0 \end{cases} \Rightarrow f'(x_0) = 0$

Теорема Ролля.

Нехай $f:\ (a,b) \to R$ і задовольняє:

1. $f \in C ([a,b])$

2. $\forall x \in (a,b) \ \ \exists f'(x)$

3. f(a) = f(b)

Тоді $\exists c \in (a,b): \ f'(c) = 0$ .

Доведення.

Можливі 2 випадки:

Якщо f - стала на [a,b], тобто $\forall x \in [a,b]:\ f(x) = f(a)$ , то $\forall x \in (a,b): \ f'(x) = 0 \Rightarrow$ за c можна взяти будь-яку точку з (a;b).

Якщо f - не стала на [a,b]. За умовою 1, $f \in C ([a,b]) \Rightarrow$ за другою теоремою Веєрштраса:

- $\exists x_* \in [a,b]: \ f(x_*) = \min_{x \in [a; b]} f(x)$

- $\exists x^* \in [a,b]: \ f(x^*) = \max_{x \in [a; b]} f(x)$

Одне із значень $f (x *), f (x *)$ не дорівнює f(a), бо f не стала.

Нехай $f(x^*) \ne f(a)$ , тоді $x^* \in (a,b)$ за умовою 3.

За умовою 2 $\exists f'(x^*)$ . Тоді за теоремою Ферма $f'(x *) = 0$ , отже $c = x *$ .

Теорема Лагранжа про скінченний приріст.

$f:\ (a,b) \to R$ і задовольняє:

$f \in C ([a,b])$

$\forall x \in [a,b) \ \exists f'(x)$

Тоді $\exists c \in (a,b): \ f(b) - f(a) = f'(c) \cdot (b-a)$ .

Доведення.

Розглянемо $g(x) = f(x) - \frac {f(b) - f(a)} {b -a }(x -a)$

Порахуємо $g(a) = f(a); \ g(b) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)$

Тобто g(b) = g(a) – значення на кінцях функції співпадають.

Також $\forall x \in (a; b) \ \exists g'(x) = f'(x) - \frac {f(b) - f(a)} {b -a } \qquad \qquad \qquad \qquad(1)$

Отже, виконуються умови теореми Ролля для g. За теоремою Ролля, $\exists c \in (a; b)$ , таке що g'(c) = 0, тобто внаслідок (1):

$f'(c) - \frac {f(b) - f(a)} {b -a } = 0 \Leftrightarrow f'(c) \cdot (b-a) = f(b) - f(a)$

Дослідження функції за допомогою похідних. Монотонність та похідна. Локальний екстремум. Опуклість, точки перегину. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції, заданої на відрізку.

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

$f \in C ([a; b])$ За другою теоремою Веєрштраса:

$\exists x_* \in [a,b]: \ f(x_*) = \min_{x \in [a; b]} f(x)$

$\exists x^* \in [a,b]: \ f(x^*) = \max_{x \in [a; b]} f(x)$

Якщо $x^*, x_* \in (a; b)$ та $\exists f'(x^*), f'(x_*)$ , то за теоремою Ферма, $f'(x^*)= 0, \ f'(x_*) = 0$

Найбільше і найменше значення досягаються в точках, де похідна дорівнює нулю або не існує, або на кінцях відрізка.

Монотонність і похідна

Теорема 1. $f:\ (a,b) \to R, \forall x \in (a; b) \ \exists f'(x)$

Якщо $\forall x \in (a; b): \ f'(x) > 0$ , то функція строго зростає на (a; b).

Доведення. Зафіксуємо $x 1, x 2, x 1 < x 2$ . До f на $[x 1; x 2]$ застосуємо теорему Лагранжа: $f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1) \Rightarrow f(x_2) - f(x_1) > 0$ , тобто $f (x 1) < f (x 2)$ . Теорему доведено.

Теорема 2. $f:\ (a,b) \to R, \forall x \in (a; b) \ \exists f'(x)$

Тоді f - строго зростає на (a; b) і виконуються такі умови:

1) $\forall x \in (a; b): \ f'(x) > 0$ ;

2) не існує $(\alpha; \beta) \subset (a; b)$ такої, що $\forall x \in (\alpha; \beta) \ f'(x) = 0$ .

Опуклість

$f:\ (a,b) \to R$ називається строго опуклою вниз на (a; b), якщо $\forall x_1, x_2 \in (a; b), \ x_1 \ne x_2, \ \forall \alpha \in (0; 1): \ f(\alpha x_1 + (1 - \alpha x_2) ) < \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2)$

Теорема 3. $f:\ (a,b) \to R, \forall x \in (a; b) \ \exists f''(x)$

Якщо $\forall x \in (a; b): \ f''(x) > 0$ , то f – строго опукла вниз на (a; b).

Доведення. Фіксуємо точки $x_1 \ne x_2 \in (a; b), \ \alpha \in (0; 1)$ , позначимо $x α = α x 1 + (1 - α) x 2$ .

За формулою Тейлора:

для

x 1

та

x α

:

$f(x_1) = f(x_\alpha) + f'(x_\alpha) (x_1 - x_\alpha) + \frac {f''(c_1, \alpha)}{2} (x_1 - x_\alpha) ^ 2 \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

для

x 2

та

x α

:

$f(x_2) = f(x_\alpha) + f'(x_\alpha) (x_2 - x_\alpha) + \frac {f''(c_2, \alpha)}{2} (x_2 - x_\alpha) ^ 2 \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

$c_1, \alpha \in (x_1; x_\alpha), \ \ c_2, \alpha \in (x_\alpha, x_2)$

Розглянемо $\alpha \cdot (1) + (1 - \alpha) \cdot (2)$ :

- строго опукла вниз.

Означення строго опуклої вгору функції та теорема про опуклість вгору аналогічні.

Локальний екстремум

$f:\ (a,b) \to R, \ x_0 \in A$

f має в точці $x 0$ строгий локальний максимум, якщо $\exists \gamma > 0$ , що :

1) $(x_0 - \gamma; x_0 + \gamma) \subset A$ ;

2) $\forall x \in (x_0 - \gamma; x_0 + \gamma), \ x \ne x_0: \ f(x) < f(x_0)$

$f:\ (a,b) \to R, \ x_0 \in A$

f має в точці $x 0$ нестрогий локальний максимум, якщо $\exists \gamma > 0$ , що :

1) $(x_0 - \gamma; x_0 + \gamma) \subset A$ ;

2) $\forall x \in (x_0 - \gamma; x_0 + \gamma), \ x \ne x_0: \ f(x) \le f(x_0)$

Означення мінімумів аналогічні.

$f:\ (a,b) \to R, \ x_0 \in A$

f має в точці $x 0$ локальний екстремум, якщо $x 0$ належить хоча б до одного із вказаних вище класів.

Теорема (достатня умова локального екстремуму).

Нехай $f:\ (a,b) \to R, \ x_0 \in A, \ \exists \gamma > 0$ , таке, що:

1) $(x_0 - \gamma; x_0 + \gamma) \subset A$ ;

2) $f'(x 0) = 0$ або не існує;

3) $f \in C ((x_0 - \gamma; x_0 + \gamma))$ ;

4) f'(x) існує і зберігає знак на інтервалі $(x 0 - γ; x 0)$ та $(x 0; x 0 + γ)$

Тоді характер екстремуму в точці $x 0$ визначатиме таблиця:

	$(x 0 - γ; x 0)$	$(x 0; x 0 + γ)$	Характер екстремуму
Знак похідної	+	+	Екстремуму немає
	+	-	Строгий локальний максимум
	-	+	Строгий локальний мінімум
	-	-	Екстремуму немає

Точки перегину

$f:\ (a,b) \to R, \ x_0 \in A$

$x 0$ називають точкою перегину для графіку функції f, якщо $\exists \gamma > 0$ таке, що:

1) $(x_0 - \gamma; x_0 + \gamma) \subset A$ ;

2) f має різні напрями опуклості на $(x 0 - γ; x 0)$ та $(x 0; x 0 + γ)$ .

Зауваження: якщо $x 0$ – точка перегину та $\exists f''(x_0)$ , то $f''(x 0) = 0$ .

Також читай схему побудови графіка.

Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Нехай задано відрізок [a; b].

Розбиттям [a; b] називається довільний набір точок $x_0 = a < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$

Позначення: $λ$ або $\lambda = \{ x_0, x_1, \dots, x_n\}$ або $\lambda : x_0 = a < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$

Розбиття розбиває [a; b] на n відрізків.

$[x k; x k + 1]$ – k-тий відрізок розбиття $λ$ на [a; b].

∆х_k = x_k+1–x_k – довжина k-ого відрізка розбиття.

Число |λ| = ∆x_k називається діаметром розбиття. Діаметр – це найбільший відрізок розбиття (його довжина).

Нехай $f: [a, b] \to R$ – обмежена, $λ = x 0, x 1,... x n$ - розбиття [a, b].

∀ 0 ≤ k ≤ n-1 зафіксуємо точку $\xi_k \in [x_k, x_{k+1}]$

Інтегральною сумою для функції f , що відповідає розбиттю λ і набору точок ${\xi_k, o \le k \le n-1}$ називається число $S(f, \lambda, {\xi_k}) = f(\xi_0) \triangle x_0 + f(\xi_1) \triangle x_1 + \dots + f(\xi_{n-1}) \triangle x_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \triangle x_k$

Число j - границя інтегральних сум при умові, що |λ| → 0, якщо ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, що для ∀ λ такого, що |&lambda| < δ і довільного набору точок ${\xi_k, o \le k \le n-1}$ , що відповідає розбиттю λ, виконується $| S (f,λ,ξ k) - j | < ε$

Якщо границя інтегральних сум існує, то вона називається інтегралом Рімана від функції f по відрізку [a, b] або визначеним інтегралом $\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx$ , при цьому функція f називається інтегрованою за Ріманом по відрізку [a; b].

Позначення: f ∈ R([a; b]) f інтегрована за Ріманом по [a; b].

Теорема Ньютона-Лейбніца

Нехай f : [a; b] → R і задовольняє:

1. f ∈ R([a; b])

2. f має первісну на [a; b]

тоді $\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .

Доведення.

1. Зафіксуємо розбиття [a,b] λ = {x₀, x₁, ..., x_n}. За умовою 2 для всіх 0 ≥ k ≥ n-1 до F(x) на відрізку [x_k; x_k+1] застосувати теорему Лагранжа: $\exists \xi_k \in (x_k, x_{k+1}):,\ F(x_{k+1}) - F(x_k) = F'(\xi_k) (x_{k+1} - x_k) = f(\xi_k) \triangle x_k$ . Тепер інтегральна сума: $S(f, \lambda, {\xi_k}) = \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \triangle x_k = \sum_{k=0}^{n-1} (F(x_{k+1}) - F(x_k)) = F(x_1) - F(x_0) + F(x_2) - F(x_1) + \dots + F(x_n) - F(x_{n-1}) = -F(x_0) + F(x_n) = F(x_n) - F(x_0) = F(b) - F(a)$

2. Внаслідок умови 1 зафіксуємо послідовність розбиттів $\lambda_n:\, n \ge 1$ таку, що |λ| → 0, n → ∞. Для всіх n≥1 виберемо набір точок {ξ_k(n)} способом, вказаним в п.1. За теоремою про послідовність інтегральних сум: $\lim_{n \to \infty} S(f, \lambda, {\xi_k(n)}) = \int\limits_a^b f(x)\, dx$ , але внаслідок п.1 $\forall n \ge 1,\ S(f, \lambda, {\xi_k(n)}) = F(b) - F(a)$ , тому $\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .

Похідна інтеграла як функції верхньої межі.

f є R([a;b]),тоді визначена функція fi(x)=integr(a,x) f(t)dt і називається функцією верхньої межі.

Т е о р е м а про середнє значення. Якщо f є C([a;b]), тоді існує teta є [a;b]:integr(a,b) f(x) dx = f(teta)(b-a). Позначимо teta_(a,b) означає teta є [a;b].

Т е о р е м а. f є C([a,b]) і fi(x)=integr(a,x) f(t)dt , де x є [a;b] , тоді fi(x) має неперервну похідну на [a;b], при чому (integr(a,x)f(t)dt)' = f(x).

Доведення.

Зафіксуємо x є[a;b], deltax!=0 і deltax - таке, що (x+deltax) є [a;b]. Розглянемо:

(fi(x+deltax) - fi(x))/deltax = (1/deltax)*(integr(a,x+deltax)f(t)dt - integr(a,x)f(t)dt) = (1/deltax)integr(x,x+deltax) f(t)dt=За теоремою про середнє= (1/deltax)*f(teta_(x,deltax))*deltax = f(teta_(x,deltax)), де teta_(x,deltax) є [x,deltax]. Якщо deltax->0, то teta_(x,deltax)->x. f є C([a;b]), отже при deltax->0 f(teta_(x,deltax))->f(x).

Тому: fi'(x) = lim_(deltax->0)((fi(x+deltax) - fi(x))/deltax) = lim_(deltax->0) f(teta_(x,deltax)) = f(x). Доведено.

Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ, довжини дуги кривої, об’єму, поверхні тіла обертання.

1. Площа криволінійної прапеції M.

М={(x,y)|0<=y<=fx, xє[a,b]}, f є C([a,b]): byd-jakui x є[a,b] : f(x)>=0, наз. криволінійною трапецією.

S(M)=integral_a^b f(x)dx

2. f(x)<=g(x)

  М={(x,y)|f<=y<=gx, xє[a,b]}

S(M)=integral_a^b (g(x)-f(x))dx

3. Довжина дуги кривої. Нехай f має неперервну похідну на [a,b] Г={(x,f(x))|xє[a,b]}, тоді довжина кривої Г, позначається L(Г)=integral_a^b sqrt(1+(f(x))^2) dx

4. Довжина дуги кривої заданої параметрично. x=phi(t) y=teta(t) , t є[alfa, beta] . phi and teta мають неперервну похідну на [alfa, beta]

L(Г)=integral_a^b sqrt((phi'(t))^2+(teta'(t))^2)dt

5. Об"єм тіла обертання. V=П integral_a^b f^2(x)dx

6. Площа поверхні обертання. Навколо ОХ

S=2П integral_a^b f(x) sqrt(1+(f'(x))^2)dx

7. Оючислення площі криволінійного сектора заданого в полярн координатах. ро(фі) неперервна на [alpha, beta]

S=1/2 integral_a^b ро^2(фі) d(фі)

8. Довжина кривої заданої в полярних координатах. Г -крива, що задається ро(фі), фі є [alpha, beta] ро(фі) має неперервну похідну на [alpha, beta]

L(Г)= integral_a^b sqrt(ро^2(фі)+(ро'(фі))^2) d(фі)

Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд (α = 1).

Нехай $\{a_n: n \ge 1 \}$ - фіксована числова послідовність.

Числовим рядом називається формальна сума $\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n+ \dots \qquad\qquad \qquad \qquad (1)$

При цьому число $a n$ називається n-тим членом ряду (1).

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ називається n-тою частковою сумою ряду (1).

Якщо існує скінченна $\lim_{n \to \infty }S_n = S$ , то ряд (1) називається збіжним до числа S, а S називається сумою ряду.

Якщо $\lim_{n \to \infty }S_n$ не існує або нескінченна, то ряд називається розбіжним.

Необхідна умова збіжності числового ряду.

Перша необхідна умова:

якщо $\sum_{n=1} ^\infty a_n$ збігається, то $a_n \to 0, n \to \infty$ .

Доведення. Нехай ряд збігається до S, тобто існує $\lim_{n \to \infty }S_n = S$ .

$\forall n \ge 2 : \ a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0, n \to \infty$ .

Зауваження. З першої необхідної умови випливає, що якщо $a_n \not \to 0$ , то ряд $\sum_{n=1} ^\infty a_n$ розбігається. Якщо $a_n \to 0$ , то треба досліджувати далі.

Друга необхідна умова:

Якщо $\sum_{n=1} ^\infty a_n$ збігається, то $S_{2n} - S_n \to 0, n \to \infty$ .

Доведення. Нехай ряд збігається до S, тобто існує $\lim_{n \to \infty }S_n = S$ , тоді

$S_{2n} - Sn \to S - S \to 0, n \to \infty$

Гармонійний ряд $\sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n}$ .

Доведемо, що він розбігається.

Перевіримо другу необхідну умову:

$S_{2n} - S_n = (1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \dots + \frac 1 n + \frac 1 {n+1} + \dots + \frac 1 {2n}) - (1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \dots + \frac 1 n) = \frac 1 {n+1} + \frac 1 {n+2} + \dots + \frac 1 {2n} \ge n - \frac 1 {2n} = \frac 1 2$ .

Тобто $\forall n \ge 1 : \ S_{2n} - S_n \ge \frac 1 2 \Rightarrow$ за теоремою про нерівності для границь $\lim_{n \to \infty} (S_{2n}-S_n) \ne 0$ , друга необхідна умова не виконується, отже, гармонійний ряд розбіжний.

Ознаки порівняння збіжності знакододатних числових рядів.

Нехай для всіх n>=1: 0<=an<=bn. Тоді:

1. Якщо Сума(n=1..нескінченність)(bn) збігається, то і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж збігається.
2. Якщо Сума(n=1..нескінченність)(аn) розбігається, то Сума(n=1..нескінченність)(bn) теж розбігається.

Доведення випливає з критерія збіжності, бо для всіх n>=1: (S_n)^a = a1+a2+...+an... i (S_n)^b = b1+b2+...+bn... Для цих сум виконується: (S_n)^a <= (S_n)^b (обмеженість). ДОВЕДЕНО.

ДРУГА ОЗНАКА ЗБІЖНОСТІ. Нехай для всіх n>=1: an>0 і bn>0. Існує lim(n->нескінченність)(an/bn)=L є (0;нескінченність).

Тоді поведінка рядів Сума(n=1..нескінченність)(аn) і Сума(n=1..нескінченність)(bn) однакова.

Для доведення використовуємо ЛЕМУ: Нехай для всіх n>=1: cn>0, ряд Сума(n=1..нескінченність)(сn) - збіжний, d_n (n>=1) - послідовність, така що існує alpha>0: 0<=d_n<=alpha. Тоді ряд Сума(n=1..нескінченність)(dn*cn) - збігається.

ДОВЕДЕННЯ ЛЕМИ. Для всіх n>=1: Сума(k=1..n)(dk*ck) <= Сума(k=1..n)(L*ck) = L*Сума(k=1..n)(ck) (1).

Оскільки Сума(k=1..n)(ck) збігається, то за критерієм збіжності: {Сума(k=1..n)(ck): n>=1} - обмежений. Тоді з (1)

{Сума(k=1..n)(dk*ck): n>=1} - обмежений. За критерієм збіжності, Сума(n=1..нескінченність)(dn*cn) збігається. ДОВЕДЕНО. ДОВЕДЕННЯ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ.

1. Нехай Сума(n=1..нескінченність)(bn) збігається. Доведемо, що і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж збігається. Оскількі існує lim(n->нескінченність)(an/bn)=L, то послідовність an/bn обмежена. Тобто існує с>0, таке що для будь-якого n>=1: 0<=an/bn<=c.

ak/bk, k>=1 - задовольняє умову леми: ряд Сума(n=1..нескінченність)(bn) - збіжний. Отже: Сума(n=1..нескінченність)(an)=Сума(n=1..нескінченність)(an/bn)*bn - збіжний (за лемою).

2. Нехай Сума(n=1..нескінченність)(bn) розбігається. Доведемо, що і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж розбігається.

Від супротивного. Припустимо, що Сума(n=1..нескінченність)(аn) збіжний. lim(n->нескінченність)(an/bn)=L - з умови.

L є (0;нескінченність) => існує lim(n->нескінченність)(bn/an)=1/L => {bn/an: n>=1} - обмежений, а отже, задовольняє умову леми. Тому ряд Сума(n=1..нескінченність)(bn)=Сума(n=1..нескінченність)(bn/аn)*an - теж збіжний за лемою. Протиріччя. ДОВЕДЕНО.

Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності знакододатніх числових рядів.

Т е о р е м а. Ознака Коші збіжності числового ряду.

Нехай для будь-якого n>=1 : an>=0, існує lim_(n->oo) sqrt^n(an) = p, де p є [0;+oo] Тоді 1).якщо p<1, то ряд sum_(n=1...oo)an - збіжний; 2).якщо p>1, то ряд sum_(n=1...oo)an - розбіжний; 3).якщо p=1, то ряд треба досліджувати додатково.

Доведення.

1).p<1, зафіксуємо r, таке що p<r<1. Оскільки lim_(n->oo) sqrt^n(an) = p, то існує номер n0 для всіх n>=n0 : sqrt^n(an)<r, тобто an < r^n , n>=n0. Ряд sum_(n=n0...oo)r^n - збіжний як геометричний ряд |r|<1. звідси за 1 ознакою порівняння: sum_(n=n0...oo)an - збіжний, а отже і ряд sum_(n=1...oo)an - збіжний, оскільки хвіст ряду збігається.

2).p>1. lam_(n->oo) sqrt^n(an) = p > 1. Отже існує n0 для всіх n>=n0: sqrt^n(an)>=1 , тобто an>=1,n>=n0, тоді an !->0, n->oo, а отже ряд sum_(n=1...oo)an - розбіжний.
3).p=1. Наведемо приклад ряду що розбігається: sum_(n=1...oo) 1 - розбіжний, бо 1!->0, n->oo:

lim_(n->oo)sqrt^n(an) = lim_(n->oo)sqrt^n(1) = 1 = p.

Наведемо приклад збіжного ряду: sum_(n=1...oo) (1/n^2) - збіжний, як узагальнений гармонійний ряд з alpha > 1, але lim_(n->oo)sqrt^n(an) = lim_(n->oo)sqrt^n((1/n^2)) = lim_(n->oo)1/(sqrt^n(n))^2 = 1 = p.

Доведено. Зауваження. З доведення ознаки коші випливає,що при p>1 an!->0.

Т е о р е м а. Даламбера збіжності числового ряду. Нехай для будь-якого n>=1 : an>=0 і існує lim_(n->oo)(a_(n+1)/a_n) = p.

Тоді

1).якщо p<1, то ряд sum_(n=1...oo)an - збіжний;

2).якщо p>1, то ряд sum_(n=1...oo)an - розбіжний;

3).якщо p=1, то ряд треба досліджувати додатково. зауваження. З ознаки Даламбера випливає, що коли p>1, an!->0.

Абсолютна і умовна збіжність ряду. Ознака Лейбніца збіжності знакопочергового ряду.

Кажуть, що ряд СУМА^inf_n=1 an збігається абсолютно, якщо виконується: СУМА^inf_n=1 |an| збіжний. Кажуть, що ряд СУМА^inf_n=1 an збігається умовно, якщо СУМА^inf_n=1 |an| розбіжний, а СУМА^inf_n=1 an збігається.

Т-ма. Із абсолютної збіжності ряду випливає його збіжність.

Т-ма. Ознака Лейбніці збіжності знакопочергового ряду. Нехай:

1. для будь-якого n>=1: 0<=beta_(n+1)<=beta_n
2. beta_n ->0, n->infinity

Тоді ряд beta1-beta2+beta3-beta4+...=СУМА^inf_(n+1)(-1)^(n+1) beta_n

Доведення. 1.{S_2n : n>=1} - збігається для будь-якого n>=1: S_(2n+2)=S_2n+beta_(2n+1)-beta_(2n+2) => це більше за S_2n => {S_2n : n>=1} - монотонно зростає. для будь-якого n>=1: S_2n=beta_1 -(beta_2-beta3)-(beta_4-beta_5)-...-(beta_(2n-2)-beta_(2n-1)) -beta_2n =>це менше за beta_1 => {S_2n : n>=1} - обмежена зверху => Тому за теор Веєрштраса про існування границі монотонної послідовності. існує S є R: lim S_2n=S, n->infinity (1)

2.Доведемо, що lim(S_2n+1)=S, n->infinity

S_(2n+1)= S_2n +beta_(2n+1) => збігається до S, n->inf.

3. Дов., що lim(S_n)=S, n->infinity Нехай Е>0 задано:

із(1)=> існує n1, для будь-якого n>=n1: |S_2n - S|<E
із(2)=> існує n2, для будь-якого n>=n1: |S_(2n+1) - S|<E

Покладемо n0=2max(n1,n2)+1 Тоді для будь-якого n>=n0 виконується |S_n-S|<E

Теорему доведено.

Степеневий ряд, його радіус збіжності, теорема Коші-Адамара

Нехай х0 ? R, {an : n >=0} c R -ф?ксован? числа.

Озн1.Функц?ональний ряд SUMM_n=0 ^oo (an*(x-x0)^n) назив. степеневим рядом. Зауваження. n-та часткова сума степеневого ряду Sn(x)=a0+a1*(x-x0)+...+an*(x-x0)^n многочлен степеня <=n.

Для дослiдження степеневого ряду на зб?жн?сть використову?ться поняття так звано? верхньо? границ? числово? посл?довност?.

Нехай {cn : n>=1} - ф?ксована числова посл?довн?сть . Якщо для заданого alpha ?сну? така п?дпосл?довн?сть {c_n_k : k>=1} посл?довност? {cn : n>=1}, що c_n_k ->alpha, k->oo,то alpha назив частковою границею посл {cn : n>=1}.

Можлив? випадки , що alpha =+oo, alpha=-oo. Позначимо через М множину вс?х часткових границь посл?довност? {cn : n>=1}.

Озн. Верхньою границею посл?довност? {cn : n>=1} назив (lim з рискою) lim_(n->oo) (cn) := {+oo,якщо [cn] необмежена зверху;

{ sup M, якщо {cn} обмежена зверху, М={-oo};

{-oo,якщо M={-oo}.

Розглянемо степеневий ряд SUMM_n=0 ^oo (an*(x-x0)^n) (1)

Покладемо ро:=lim(з рискою)_(n->oo) (sqrt^n(|an|)) ? [0; +oo].

Позначимо R = { 0, якщо ро=+оо;

{1/ро, якщо 0<ро<+oo; {+oo,якщо ро=0; Число R назив рад?усом зб?жност? степеневого ряду (1).

Т-ма Кош?-Адамара.

1)Якщо R=0, то при х!=х0 ряд(1) розб?га?ться;
2)якщо R=+oo, то ряд зб?га?ться абсолютно для будь-якого х ? R;
3)якщо 0<R<+oo, то степ ряд зб?га?ться абсолютно при |x-x0| <R i розб?га?ться при |x-x0| >R.

Зауваження 1) при |x-x0| =R треба досл?джувати ряд додатково.

Зауваж 2) якщо ?сну? lim_(n->oo) (sqrt^n(|an|)), то вона дор?вню? ро.

Зауваж 3) якщо для будь-якого n>=n0 : an!=0 ?сну? lim _(n->oo) |an/a_(n+1)| , то R = lim _(n->oo) |an/a_(n+1)|.

Точна нижня (infinum) та точна верхня(supremum) межа

Супремум (найвищий), чи точна верхня грань підмножини X впорядкованої множини M називається найменший з усіх елементів M, які більші або рівні всім елементам множини X (позначається $\sup X$ ). У випадку, якщо супремум множини X належить самій множині X, супремум є максимумом множини X.

Більш формально:

$S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}\!$ — множина верхніх меж

X

, тобто елементів

M

, більших ніж всі елементи

X

$s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.$

Точною нижньою межею, або інфінумом (найнижчий) підмножини $X$ впорядкована множина $M$ , називається найбільший елемент $M$ , який є рівним або меншим за всіх елементів множиниа $X$ . Позначається $\inf X$ .

Зауваження

Ці визначення нічого не говорять про те, чи $\sup X$ і $\inf X$ множині $X$ або ні. У випадку $s=\sup X\in X$ , кажуть, що $s$ є максимумом $X$ . У випадку $i=\inf X\in X$ , кажуть, що $i$ є мінімумом $X$ .

Приклади

На множині всіх дійсних чисел більших п'яти, не існує мінімуму, але існує інфінум. $\inf$ такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, оскільки п'ять не є мінімумом, тому що п'ять не належить цій.

Властивості

Для будь-якої обмеженої зверху підмножини $\mathbb{R}$ , існує $\sup$ .
Для будь-якої обмеженої знизу підмножини $\mathbb{R}$ , існує $\inf$ .
Дійсне число s, є тоді і тільки тоді коли
1. $s$ є верхньою межею $X$ тобто для всіх елементів $x\in X$ , $x\leqslant s$ .
2. для будь-якого $\varepsilon>0$ знайдеться $x\in X$ , такий, що $x+\varepsilon > s$ (тобто до $s$ можна наскільки завгодно «наблизитись» до множини $X$ )
Аналогічне твердження справедливе й для точної нижньої межі.

Розклад функцій в ряд Тейлора, основні розклади.

Розглянемо степеневий ряд $\sum_{n = 0}^\infty a_n \cdot (x-x_0)^n$ . Покладемо $\rho = \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]|an| \in [0; +\infty]$ .

Позначимо:

R = 0, якщо $\rho = +\infty$ ;

$R =\ \frac 1 \rho$ , якщо $\rho \in (0; +\infty)$ ;

$R = \infty$ , якщо $ρ = 0$ .

R називається радіусом збіжності степеневого ряду.

Ряд Тейлора

$f: \ (x_0 - r;\ x_0 + r) \to R$ , f - нескінченно диференційовна на $(x_0 - r;\ x_0 + r)$ .

Степеневий ряд

$f(x_0) + \frac {f'(x_0)} {1!} (x-x_0) + \frac {f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \dots + \frac {f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n + \dots = \sum_{n = 0}^\infty \frac {f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$ (1)

називається рядом Тейлора для функції f в околі точки $x 0$ .

Теорема 1. Нехай $\exists c>0,\ \forall n \ge 0, \ \forall x \in (x_0 - R;\ x_0 + R)$ справджується $|f^{(n)}(x)| \le c^n$ .

Тоді $\forall x \in (x_0 - R;\ x_0 + R): \ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac {f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$

Теорема 2. Степеневий ряд з R > 0 завжди є рядом Тейлора для своєї суми.

Наслідок. Для того, щоб розкласти функцію в ряд Тейлора, досить отримати розклад в будь-який степеневий ряд.

Таблиця розкладів у ряд Тейлора для деяких функцій в околі 0.

1. $e^x = 1 + x + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^3} {3!}+ \dots + \frac {x^n} {n!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!}, \ x \in R$

2. $\sin x = x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \dots + (-1)^n \frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \ x \in R$

3. $\cos x = 1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac {x^{2n}}{(2n)!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {x^{2n}}{(2n)!}, \ x \in R$

4. $\frac 1 {1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + \dots = \sum_{n=0}^\infty x^n, \ x \in (-1;1)$

5. Біноміальний розклад $\forall \alpha \in R, \alpha$ - фіксоване:

$(1+x)^\alpha = 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac {\alpha (\alpha - 1) \cdot \dots \cdot (\alpha - n + 1)} {n!} x^n, \ x \in (-1;1)$

6. $\ln (1+x) = x - \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3} - \dots + (-1)^{n+1} \frac {x^{n}}{n} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac {x^{n}}{n}, \ x \in (-1;1]$

Алгоритм розкладу в ряд Тейлора

Для розкладу функціїї $f (x)$ в ряд Тейлора (Маклорена) (1) потрібно:

знайти похідні $f'(x), f''(x),..., f (n) (x),$
обчислити значення похідних в точці $x 0 = 0$
записати ряд (1) для заданої функції і знайти його інтервал збіжності
знайти інтервал (-R; R), в якому залишковий член ряду Маклорена R_n(x)->0 при n-> $\infty$ . Якщо такого інтервалу не існує, то в ньому функція $f (x)$ і сума ряду Маклорена збігаються.

Теореми про диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.

l>0 Означення. Послідовність функцій 1, cos(Пx/l),sin(Пx/l), cos(2Пx/l),sin(2Пx/l),..., cos(nПx/l),sin(nПx/l) називається основною тригонометричною с-мою на відрізку [-l,l].

Нехай f:R->R ??? Achtung (-2l)??? - періодична і інтегрована за Ріманом на [-l,l].

Числа:

a0=1/l integral^l_-l f(x)dx .... an=1/l integral^l_-l f(x)cos(nПx/l)dx, n>=1 bn=1/l integral^l_-l f(x)sin(nПx/l)dx, n>=1

наз. коефіцієнтами Фур"є для f, a ряд a0/2+СУМА^inf_n=1(ancos(nПx/l)+bnsin(nПx/l)) - рядом Фур"є

Влястивості ряду Фур"є.

1. Рівність Парсеваля.

a0/2+СУМА^inf_n=1(an^2+bn^2)=1/l integral^l_-l f^2(x)dx

Пусть f:R -> R -- непрерывно дифференцируемая 2П-периодическая функция. Как мы уже знаем, она представима своим рядом Фурье, а значит для всех х є R можно записать

f(x)=a_0/2+sum_n=1^inf (a_n\cos nx +b_n\sin nx)

При этом ее производная f' непрерывна и 2П-периодична, а значит о сходимости ее ряда Фурье мы ничего сказать не можем, но формальный ряд Фурье построить можно:

f'(x) хвилька a_0'/2+sum_n=1^inf (a_n'\cosnx + b_n'\sinnx)

Теорема (о дифференцировании ряда Фурье) . При сделанных выше предположениях справедливы равенства a0'=0, an'=nbn, bn'=-nan, n>=1.

Доказательство. Интегрируя по частям, получим для любого n> 0

a_n'=1/pi integral_-pi^pi f'(x)cosnx dx=1/pi [ f(x)cos nx |_-pi^pi+ integral_-pi^pi nf(x)sinnx dx]=((-1)^n[f(pi)-f(-pi)])/pi +nb_n=nb_n. Остальные равенства доказываются аналогично.

Пусть теперь функция g непрерывна, 2\pi-периодична и integral_-pi^pi g(x)dx=0.

Рассмотрим, кроме того, непрерывно дифференцируемую 2\pi-периодическую функцию G(x)=integral_0^xg(t)dt разложим ее в (сходящийся к ней) ряд Фурье:

G(x)= A_0/2+sum_n=1^inf (A_n\cosnx + B_n\sinnx)

Теорема (об интегрировании ряда Фурье) . При сделанных выше предположениях справедливы равенства A_0/2=sum_n=1^inf b_n/n, An=-bn/n, Bn=an/n n>=1.

Алгоритм побудови графіка функції.

Схема дослідження функції та побудова її графіка

Щоб дослідити функцію та побудувати її графік, треба:

1. знайти область існування функції;

2. знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з координатними осями;

3. дослідити яункцію на періодичність, парність і непарність;

4. знайти точки розриву та дослідити їх;

5. знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та значення функції в цих точках;

6. знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7. знайти асимптоти кривої;

8. побудувати графік функціі, враховуючи дослідження, проведені в п. 1 - 7.

Якщо графік виявиться не зовсім зрозумілим, потрібно додатково знайти кілька точок графіка, обчисливши значення функції при певних значеннях аргумент; бажано також в цих самих точках обчислити першу похідну, щоб визначити в них напрям дотичної.

Якщо функція періодична з періодом T, то досить побудувати її графік на відрізку [0, T], після чого повторити цей графік на проміжках $(nT; (n + 1)T), n \in Z$ .

Якщо функція парна (непарна), то достатньо побудувати її графік для $x \ge 0$ , а потім відобразити його симетрично відносно осі ординат (або відносно початку координат).

Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.

l > 0 – фіксоване.

Послідовність функцій $1, \ \cos (\frac {\pi x} l), \ \sin (\frac {\pi x} l), \ \cos (\frac {2 \pi x} l), \ \sin (\frac {2 \pi x} l),\ \dots, \ \cos (\frac { \pi n x} l),\ \sin (\frac { \pi n x} l)$ називається основною тригонометричною системою на [–l; l].

Нехай $f :\ R \to R, 2l$ – періодична інтегрована за Ріманом функція по відрізку [–l; l].

Числа $a_0 = \frac 1 l \int_{-l}^l f (x) dx, \ a_n = \frac 1 l \int_{-l}^l f (x) \cos (\frac {\pi n x} l) dx, \ b_n = \frac 1 l \int_{-l}^l f (x) \sin (\frac {\pi n x} l) dx, \ n \ge 1$ називаються коефіцієнтами Фур'є для функції f, а ряд

$\frac {a_0} 2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos (\frac {\pi n x} l) + b_n \sin (\frac {\pi n x} l))$ – рядом Фур'є для функції f.

Існують неперевні функції, такі, що відповідний їм ряд Фур'є не збігається до значення функції в жодній точці.

Зауваження: якщо f – парна, то $\forall n \ge 1: \ b_n = 0$

якщо f – непарна, то $\forall n \ge 1: \ a_n = 0$

Властивості ряду Фур'є:

1. Рівність Парсеваля: $\frac {a_0^2} 2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) = \frac 1 l \int_{-l}^l f^2 (x) dx$

2. Ряд Фур'є збігається в середньому квадратичному, тобто якщо $S_n (x) = \frac {a_0^2} 2 \sum_{k=1}^k (a_k \cos (\frac {\pi k x} l) + b_k \sin (\frac {\pi k x} l))$ , то $\lim_{n \to \infty} \int_{-l}^l |f(x) - S_n(x)|^2 dx = 0$ .

3. Поточкова збіжність:

Якщо $f'(x 0)$ , то ряд Фур'є в точці $x 0$ збігається до $f (x 0)$ ;

Нехай в точці $x 0$ існують такі границі: $f(x_0 + 0),\ f(x_0 - 0), \ \lim_{u \to 0+0} \frac {f(x_0 + u) - f(x_0 - 0)} u, \ \lim_{u \to 0-0} \frac {f(x_0 + u) - f(x_0 + 0)} u$ . Тоді ряд Фур'є в точці $x 0$ збігається до $\frac {f(x_0 + 0) + f(x_0 - 0)} 2$ .

4. Рівномірно збіжний на R тригонометричний ряд є рядом Фур'є для своєї суми.

5. $f \sim \frac {a_0} 2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos (\frac {\pi n x} l) + b_n \sin (\frac {\pi n x} l))$ , тоді ряд, отриманий почленним інтегруванням ряду Фур'є, рівномірно збігається на R до такої функції: $\int_0^x f(x) dx$

Теорема про арифметичні дії над збіжними послідовностями.

Поняття диференціала та його застосування до наближених обчислень.

Невласні інтеграли I-го та II-го роду.

Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій і функціонального ряду,

Основи математичного аналізу:Іспит

Матеріал з USIC Wiki

Зміст

Означення границі послідовності. Теорема про обмеженість збіжної послідовності.

Теорема Веєрштраса про існування границі монотонної послідовності.

Теорема про три послідовності (про "затиснуту" послідовність).

Збіжність послідовності $\left \{ \left (1+ \frac {1}{n} \right ) ^n \right \}, n \ge 1$ . Число e.

Границя функції в точці. Означення за Коші і за Гейне, їх еквівалентність.

Поняття неперервності функції, неперервність функції в точці, точки розриву.

Теореми про властивості неперервних на відрізку функцій (теорема про проміжні значення, теореми Веєрштраса).

Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші.

Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Похідна інтеграла як функції верхньої межі.

Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ, довжини дуги кривої, об’єму, поверхні тіла обертання.

Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд (α = 1).

Ознаки порівняння збіжності знакододатних числових рядів.

Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності знакододатніх числових рядів.

Абсолютна і умовна збіжність ряду. Ознака Лейбніца збіжності знакопочергового ряду.

Степеневий ряд, його радіус збіжності, теорема Коші-Адамара

Точна нижня (infinum) та точна верхня(supremum) межа

Зауваження

Приклади

Властивості

Розклад функцій в ряд Тейлора, основні розклади.

Алгоритм розкладу в ряд Тейлора

Теореми про диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.

Алгоритм побудови графіка функції.

Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.

Теорема про арифметичні дії над збіжними послідовностями.

Поняття диференціала та його застосування до наближених обчислень.

Невласні інтеграли I-го та II-го роду.

Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій і функціонального ряду,

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Пошук

Інструменти

Основи математичного аналізу:Іспит

Матеріал з USIC Wiki

Зміст

Означення границі послідовності. Теорема про обмеженість збіжної послідовності.

Теорема Веєрштраса про існування границі монотонної послідовності.

Теорема про три послідовності (про "затиснуту" послідовність).

Збіжність послідовності . Число e.

Границя функції в точці. Означення за Коші і за Гейне, їх еквівалентність.

Поняття неперервності функції, неперервність функції в точці, точки розриву.

Теореми про властивості неперервних на відрізку функцій (теорема про проміжні значення, теореми Веєрштраса).

Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші.

Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Похідна інтеграла як функції верхньої межі.

Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ, довжини дуги кривої, об’єму, поверхні тіла обертання.

Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд (α = 1).

Ознаки порівняння збіжності знакододатних числових рядів.

Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності знакододатніх числових рядів.

Абсолютна і умовна збіжність ряду. Ознака Лейбніца збіжності знакопочергового ряду.

Степеневий ряд, його радіус збіжності, теорема Коші-Адамара

Точна нижня (infinum) та точна верхня(supremum) межа

Зауваження

Приклади

Властивості

Розклад функцій в ряд Тейлора, основні розклади.

Алгоритм розкладу в ряд Тейлора

Теореми про диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.

Алгоритм побудови графіка функції.

Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.

Теорема про арифметичні дії над збіжними послідовностями.

Поняття диференціала та його застосування до наближених обчислень.

Невласні інтеграли I-го та II-го роду.

Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій і функціонального ряду,

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Пошук

Інструменти

Збіжність послідовності $\left \{ \left (1+ \frac {1}{n} \right ) ^n \right \}, n \ge 1$ . Число e.