Нерівність Йєнсена

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Теорема

Нехай функція $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ опукла униз.

Тоді для будь-якої випадкової величини ξ зі скінченним першим моментом $\mathbb{M}g(\xi) \ge g(\mathbb{M}\xi)$

Загальне (неймовірнісне) формулювання

f - опукла вниз на [a, b].

$\begin{align} & \forall x_1,... x_n \in [a,b] \\ & \forall \lambda_1,... \lambda_n (\lambda_i \ge 0) \\ & f \left ( \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i * x_i}{\sum_{i=1}^n \lambda_i} \right ) \le \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i * f(x_i)} {\sum_{i=1}^n \lambda_i} \\ \end{align}$

Коли $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$:

$f \left (\sum_{i=1}^n \lambda_i * x_i \right ) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i * f(x_i)$

Якщо функція опукла вгору, виконується обернена нерівність.

Лема

Нехай функція $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ опукла. Тоді для будь-якого $\mathbf{y}$ знайдеться число $c(\mathbf{y})$, таке що при всіх $\mathbf{x}$

$g(\mathbf{x}) \ge g(\mathbf{y})+c(\mathbf{y})(\mathbf{x}-\mathbf{y})$.

Доведення

Візьмемо в умовах леми $\mathbf{y}=\mathbb{M}\xi, \mathbf{x}=\xi$

Тоді $g(\xi) \ge g(\mathbb{M} (\xi) )$ + $C(\mathbb{M}\xi) (\xi- \mathbb{M}(\xi))$.

Обчислимо математичне сподівання обох частин нерівності.

Оскільки, $\mathbb{M}(\xi-\mathbb{M}\xi) = 0$, і нерівність між математичними сподіваннями зберігається із наслідку (1), тоді $\mathbb{M}g(\xi) \ge g(\mathbb{M}\xi)$.

---

Наслідок (1):

Наслідок математичного сподівання:

• Якщо ξ ≤ η, тоді Mξ ≤ Mη
• Якщо ξ ≤ η, і при цьому Mξ = Mη тоді ξ ≤ η