Лінійна алгебра та аналітична геометрія:Колоквіум

Матеріал з USIC Wiki

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

• Портал:Інформаційні науки

• Лінійна алгебра та аналітична геометрія:Іспит

Зміст 1 Поняття напiвгрупи, групи. Приклади. 2 Поняття кiльця, поля. Приклади. 3 Системи лiнiйних рiвнянь над полем. Еквiвалентнiсть систем. Елементарнi перетворення. Поняття лiнiйного нелiнiйного афiнних многовидiв. Приклади. 4 Методи розв’язування систем лiнiйних рiвнянь. Поняття про загальний та частковий розв’язки систем рiвнянь. 5 Операцiї над матрицями: множення на скаляр з поля, додавання, множення,транспонування. Довести, що операцiЁ додавання та множення пов’язанi лiвим та правим законами дистрибутивностi. 6 Довести асоцiативнiсть операцiї множення матриць, вiдповiдних розмiрiв. Кiльце квадратних матриць. 7 Оборотнi матрицi та їх властивостi. Обчислення оберненої матрицi шляхом елементарних перетворень. 8 Довести, що якщо AB = E або BA = E; то матриця A є оборотною i B = A=-1.Єдинiсть оберненої матрицi. 9 Матричнi форми систем лiнiйних рiвнянь над полем. Властивостi однорiдних систем. Зв’язок мiж розв’язками неоднорiдної та вiдповiдної однорiдної систем лiнiйних рiвнянь. Структура загального розв’язку системи лiнiйних рiвнянь. 10 Поняття векторного простору (пiдпростору) над полем. Приклади. Iзоморфiзм векторних просторiв. 11 Сума, перетин векторних просторiв. Поняття фактор-простору. Двоїстий векторний простiр. 12 Лiнiйна залежнiсть векторiв, властивостi таких систем векторiв. 13 Лема про лiнiйну залежнiсть векторiв бiльшої сукупностi, що виражаються через вектори меншої сукупностi. 14 Еквiвалентнiсть трьох означень базису скiнченновимiрного векторного простору. 15 Координати вектора в заданому базисi. Арифметичний векторний простiр як стандартна модель скiнченновимiрного абстрактного векторного простору. 16 Матриця переходу до iншого базису, її властивостi. Формули перетворення координат при замiнi базиса. 17 Теореми про розмiрнiсть суми пiлпросторiв та розмiрнiсть фактор-простору векторного простору над полем. 18 Направляючий простiр лiнiйного афiнного многовиду. Види рiвнянь лiнiйних афiнних многовидiв. Приклади. 19 Ранг системи векторiв. Збiжнiсть рядкового та стовпчикового рангiв матриць. 20 Теорема Кронекера-Капелi. 21 Кососиметричнi n-лiнiйнi функцiонали на векторних просторах, їх властивостi та геометричний змiст. 22 Визначник, як кососиметричний полiлiнiйний функцiонал на арифметичному векторному просторi. Основнi методи обчислення визначникiв матриць. 23 Теорема про визначник добутку двох матриць. 24 Властивостi приєднаних матриць. Явна формула для оберненої матрицi. 25 Формула Крамера.

Поняття напiвгрупи, групи. Приклади.

Поняття кiльця, поля. Приклади.

Системи лiнiйних рiвнянь над полем. Еквiвалентнiсть систем. Елементарнi перетворення. Поняття лiнiйного нелiнiйного афiнних многовидiв. Приклади.

Методи розв’язування систем лiнiйних рiвнянь. Поняття про загальний та частковий розв’язки систем рiвнянь.

Операцiї над матрицями: множення на скаляр з поля, додавання, множення,транспонування. Довести, що операцiЁ додавання та множення пов’язанi лiвим та правим законами дистрибутивностi.

Довести асоцiативнiсть операцiї множення матриць, вiдповiдних розмiрiв. Кiльце квадратних матриць.

Оборотнi матрицi та їх властивостi. Обчислення оберненої матрицi шляхом елементарних перетворень.

Довести, що якщо AB = E або BA = E; то матриця A є оборотною i B = A^=-1.Єдинiсть оберненої матрицi.

Матричнi форми систем лiнiйних рiвнянь над полем. Властивостi однорiдних систем. Зв’язок мiж розв’язками неоднорiдної та вiдповiдної однорiдної систем лiнiйних рiвнянь. Структура загального розв’язку системи лiнiйних рiвнянь.

Поняття векторного простору (пiдпростору) над полем. Приклади. Iзоморфiзм векторних просторiв.

Сума, перетин векторних просторiв. Поняття фактор-простору. Двоїстий векторний простiр.

Лiнiйна залежнiсть векторiв, властивостi таких систем векторiв.

Лема про лiнiйну залежнiсть векторiв бiльшої сукупностi, що виражаються через вектори меншої сукупностi.

Еквiвалентнiсть трьох означень базису скiнченновимiрного векторного простору.

Координати вектора в заданому базисi. Арифметичний векторний простiр як стандартна модель скiнченновимiрного абстрактного векторного простору.

Матриця переходу до iншого базису, її властивостi. Формули перетворення координат при замiнi базиса.

Теореми про розмiрнiсть суми пiлпросторiв та розмiрнiсть фактор-простору векторного простору над полем.

Направляючий простiр лiнiйного афiнного многовиду. Види рiвнянь лiнiйних афiнних многовидiв. Приклади.

Ранг системи векторiв. Збiжнiсть рядкового та стовпчикового рангiв матриць.

Теорема Кронекера-Капелi.

Кососиметричнi n-лiнiйнi функцiонали на векторних просторах, їх властивостi та геометричний змiст.

Визначник, як кососиметричний полiлiнiйний функцiонал на арифметичному векторному просторi. Основнi методи обчислення визначникiв матриць.

Теорема про визначник добутку двох матриць.

Властивостi приєднаних матриць. Явна формула для оберненої матрицi.

Формула Крамера.