Лотерейна ситуація прийняття рішень

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Загальна схема лотерейної ситуації прийняття рішень (ЛСПР). Перехід від лотерейної до матричної ситуації прийняття рішень та повернення до тієї ж ЛСПР.

Модель відрізняється від схеми наявністю інформації.

Таким чином, лотерейна модель прийняття рішення - це непараметрична ситуація з розподілами (ймовірностями) настання наслідку над діями.

Лотерейна модель прийняття рішення (позначається Z_Л) характеризується наступними елементами:

Z_Л={U, C, ψ($\cdot$)}

U - множина дій (альтернатив) u $\in$ U або d $\in$ D - два еквівалентні позначення.

С - множина наслідків (consequence), c $\in$ C

ψ($\cdot$) - функція переходу, яка за кожною дією u однозначно співставляє наслідок с: ψ(u)$\rightarrow$ c_u, c_u $\in$ C

---

Перехід від лотерейної до матричної ситуації прийняття рішень та повернення до тієї ж ЛСПР.

За постановкою задачі:

Маємо множину дій (альтернатив) D (1), маємо множину наслідків C (2), наслідки (3), та розподіли наслідків над діями (4):

(1) D = {d1, d2, d3, d4}.

(2) C = {c1, c2, c3, c4}.

(3) C(d1) = {c2, c4}, C(d2) = {c1, c3, c4}, C(d3) = {c1, c2}, C(d4) = {c3, c4}.

(4) Р(d1) ={0.75, 0.25}, Р(d2) ={0.2, 0.4, 0.4}, Р(d3) ={0.7, 0.3}, Р(d4) ={0.8, 0.2}.

Аби перейти із лотерейної моделі ситуації до матричної необхідно ввести розподіл невідомого параметру ω:

1)Спочатку визначаємо кількість параметрів - це буде число=дія1(кількість наслідків)*дія2(кількість наслідків)*...*дія_остання(кількість наслідків) Неважко порахувати: 2*3*2*2=24 параметри.

2)Кожний параметр окремо це ніби шлях від першої дії до останньої через наслідки по всім діям, наприклад один із можливих шляхів:

ω₁={ c₂->c₁->c₁->c₂} <=> (d₁->d₂->d₃->d₄)

Отже кількість параметрів це скількома різними способами можна взяти з кожної дії по одному наслідку, таких у нашому випадку - 24.

4)Кожному параметру можна однозначно співставити маршрут по наслідках над діями, значення розподілу випадкового параметру - це добуток усіх розподілів наслідків, з яких він утворився.

У нашому випадку: P(ω₁)=P(d1_c2)*P(d2_c1)P(d3_c1)*P(d4_c2)=0.75*0.2*0.7*0.8=0.084

Після процедури обрахунків, ми отримали такі вихідні дані:

Колонка зліва - розподіли випадкового параметру. Колонка зправа - по суті функція g(ω,d) - співставляє кожному вхідному параметру ω_i та дії d_j єдине значення с_k.

Також, якщо дивитись по горизонталі - для кожного параметру записаний його маршрут, всьго таких маршрутів 24.

---

Тепер, як перейти із утвореної матричної моделі у лотерейну:

У нас є: {d1, d2, d3, d4}, пробігаючи по стовпчикам під кожною дією отримаємо, які у нас є наслідки на діях.

Треба знайти: розподіли наслідків на діях.

По суті вони зашиті в розподілах параметру ω.

Як їх дістати:

Коли ми у нашій таблиці зафіксуємо цікаву нам дію (наприклад стовпчик d1), а також відсіюючи з цього стовпчика цікавий нам наслідок (наприклад c2), тоді пробігаючи по всіх значеннях розподілу невідомого параметру ω_i ( 1<= i <= 24 ). І додаючи значення цих розподілів, в сумі ми отримаємо значення розподілу на наслідку с2 над дією d1.

P(d1_c2) =

Pr(W= ω₁)+Pr(W=ω₂)+Pr(W=ω₃)+Pr(W=ω₂)+Pr(W=ω₄)+Pr(W=ω₅)+Pr(W=ω₆)+Pr(W=ω₇)+Pr(W=ω₈)+Pr(W=ω₉)+Pr(W=ω₁₀)+Pr(W=ω₁₁)+Pr(W=ω₁₂)=

=0.75

Узагальнена форма запису:

---

Перехід від лотерейної до матричної ситуації прийняття рішень та повернення до тієї ж ЛСПР:

                   Так зване "повне розтягування"

1)рахуєш скільки буде параметрів -- max(наслідків на діях)

2) береш по одному найнижчому наслідку з кожної дії -- це і буде значення чергового параметра. і так поки не закінчаться всі наслідки у всіх діях.

    |        x
    |   x    x
    |   x
    |___|____|___

3) шукаємо скільки в нас буде параметрів.

max(дія1,дія2)=max(2,2)=2.

тепер нам треба створити перший параметр.

перший параметр має мати якесь значення на першій дії і на другій.

отже, тикаємо найнижче доступне.

значить 1 параметр буде мати значення:(пронумеруємо нашу картінку, шоб потім проблем не було.

   1|        x
   2|   x    x
   3|   x
    |___|____|___

---

Another example:

      1|   x
      2|   x
      3|   x    x
       |___|____|__

беремо першу точку знизу-1,3,30

другу точку знизу - 2,3,30

1,2,40

2,3,40

1,1,40

2,3,40

2ND way of expanding:

   1|        x
   2|   x    x
   3|   x
    |___|____|___

в нас є 2 дії.

в кожній є два наслідки.

1)3,2

2)3,1

3)2,2

4)2,1

якшо ми будемо з'єднувати наші точки на графіку відрізками -- кожну точку однієї дії з усіма наслідками інших.

І ці прямі ми будемо називати "параметрами", які і будуть мати значення тих точок, які вони з'єднують.

   1|        x
   2|   x    x
   3|   x
    |___|____|___

значить з'єднуємо: 1) (1,2)+(2,1) це назвемо "першим параметром

2) (1,2)+(2,2) -- другий параметр.

3) (1,3)+(2,1) -- третій параметр.

4) (1,3)+( 2,2) -- четвертий параметр.

отже, ми з'єднали так як тільки шо писали точки. тепер ми маємо позначити параметри на 3d.

Значить, створюємо перший параметр...

1) (1,2,1) (2,1,1).

   (дія,наслідок,параметр)

2) (1,2,2) (2,2,2).

а тепер подумай над такою фігньою:

    1|        x
    2|   x    x      x
    3|   x           x
     |___|____|______|__

---

Аби повернутися із 3D -> 2D, ми просто прибираємо в 3D третю координату і однозначно отримуємо лотерейну схему.