Крива байдужості

Ця стаття особливо стосується студентів ФЕН

Крива байдужості - це геометричне місте точок, що позначають однакову корисність. Це одна з головних складових моделі поведінки споживача, що характеризує бажання та смаки останнього.

Крива байдужості називається так тому, що споживачеві байдуже, який із наборів йому вживати, якщо всі ці набори є на одній і тій же кривій байдужості.

Формальне означення

Розглянемо споживача, який обирає набори з двох благ - X та Y. Від споживання кожного з благ споживач отримує певну корисність U, причому виконується закон спадної граничної корисності. Щоб спростити наше дослідження, в цьому розділі ми не будемо розглядати антиблага.

Функція

U = F(x, y)      (1)

де x та y - кількості благ X та Y відповідно, а U - корисність, отримувана від їх споживання, називається функцією корисності для певного споживача.

Не забуваймо, що корисність - глибоко суб'єктивна штука. Якщо ви знайшли двох людей з однаковими функціями корисності, то вас, скоріше за все, намагаються обдурити.

Зафіксуємо U = U₀. Тоді функція y = IC₀(x), за якої виконується (1), і буде кривою байдужості для споживача для рівня корисності U₀. Очевидно, для різних рівнів корисності U маємо різні функції IC. Тому сімейство цих функцій математики називають лініями рівня функції U. До речі, абревіатура IC обрана не від ліхтаря, вона означає Indifference Curve, тобто Крива Байдужості англійською мовою.

Ідея про те, що хтось споживає лише два блага, недолуга. З іншого боку, досліджувати багатовимірні простори - ідея божевільна. Тому економісти ідуть на компроміс: вони одним благом вважають якесь досліджуване благо X, а іншим благом Y вважають такий собі абстрактний агрегат - споживання усіх інших благ. Така хитра схема дозволяє досліджувати практично все, що може дослідити повна багатовимірна модель споживача.

Приклад: Тоня, банани та апельсини

Географічна карта

Тоня обожнює банани та апельсини. Її функція корисності (абстрагуємося від інших продуктів) така:

U_T = X_A * X_B

Перепишемо її в наступному вигляді:

X_A = U / X_B

Тоді для кожного U = c маємо функцію

X_A = c / X_B, а це і є крива байдужості Тоні для рівня корисності с.

Можна побудувати графік із кількома кривими байдужості:

Карта байдужості Тоні

Як бачимо, при споживанні 1 банана та 1 апельсина, або при споживанні 0.5 банана та 2 апельсинів, Тоня отримує корисність U = 1 ютиль. При споживанні 2 бананів та 1 апельсина, або при споживанні 1 банана та 2 апельсинів, Тоня отримує корисність U = 2 ютилі.

До речі, кілька кривих байдужості разом називаються картою байдужості. Це тому, що вони нагадують географічну карту - там також є такі лінії, які об'єднують точки з однаковою висотою.

Властивості

Від'ємний нахил

Кожна крива байдужості має від'ємний нахил

Доведення. Нехай крива байдужості IC₀ має додатній нахил:

Тоді точки А і В мають однаковий рівень корисності. Але оскільки в наборі В більше як блага А, так і блага В, він має представляти вищий рівень корисності. Таким чином, дане припущення неправильне. Отже, крива байдужості не може мати додатнього нахилу - залишається від'ємний.

Паралельність

Якщо дві криві байдужості перетинаються, то вони насправді одна крива. Доведення: якщо вони перетинаюця, то в точці А корисність для першої і для другої кривої однакова - ми ж розглядаємо один набір товарів. Якщо корисність їх однакова, то це одна крива - означення рулить!

Опуклість

Криві байдужості завжди або опуклі донизу, або прямі

Прямими є криві байдужості для благ-абсолютних замінників. В цьому випадку нам абсолютно байдуже - взяти 1 благо Х чи k благ У. Наприклад, абсолютними замінниками є 10 пляшок Боржомі та 1 ящик Боржомі (в якому десять пляшок).

Доведемо, що всі інші криві будуть опуклими донизу - спростувавши те, що існують опуклі вгору криві байдужості.

Якщо крива байдужості IC є опуклою вгору, то значення MRS_X/Y зростає з рухом в напрямку зростання X. Це означає, що або MU_X зростає зі збільшенням X, або ж MU_Y спадає зі зменшенням Y, або ж обидві умови виконуються одночасно. Це суперечить закону спадної граничної корисності - що неможливо.

Впорядкованість

Якщо одна крива байдужості розташована вище (правіше) від другої, то вона представляє вищий рівень корисності

Доведення. Нехай крива байдужості IC' розташована вище за ІС:

Тоді точка А' за аксіомою ненаситності має вищий рівень корисності, ніж точка А. А це означає, що і крива байдужості ІС' представляє вищий рівень корисності від кривої ІС.

Подальше читання

1. Погляд Хікса на криві байдужості