Комплексні числа

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Ця стаття буде корисна для студентів природничого факультету.

Побудова поля комплексних чисел

Розглянемо множину впорядкованих пар дійсних чисел $(a,b)\,$ і введемо на них операції "+" і "*" так, щоб утворилось поле.
Замість $(a,b)\,$ будемо писати $a+ib\,$, де $a\,$ - дійсна компонента, $b\,$ - уявна компонента.

AI. 	пари $a+ib\,$ та $c+id\,$ будемо вважати рівними, якщо $a=c, b=d\,$.
AII.	сумою пар  $a+ib\,$  та  $c+id\,$ будемо називати пару $(a+c)+i(b+d)\,$.
AIII.	добутком пар $a+ib\,$ та $c+id\,$  називається пара $((ac-bd)+i(ad+bc))\,$,тобто:
 $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad-bc)\,$.
AVI.	пару $a+i0\,$ будемо ототожнювати з дійсним числом $a\,$ .

В перших трьох аксіомах мова йде про визначення різних понять, отже їх співставлення не може дати протиріч. Аксіому IV треба співставити з АI -АIII, чи не порушуються звичні закони дії. Узгодженість АI, АІІ з АVI – очевидна. За АІІІ маємо. Отже, система аксіом АІ- АVI – несуперечлива.
З аксіом III, IV випливає: якщо m- деяке дійсне число, то $m(a+ib)=ma+imb\,$.
Перевіримо, що множина пар з визначеними таким чином діями задовольняє умови поля:

Г1.  $((a+ib)+(b+id))+(u+iv)=(a+ib)+((b+id)+(u+iv))\,$асоціативність додавання
Г2.  Нейтральний елемент відносно “+”: $0=0+i0\,$.
Г3.  Протилежний елемент до $(a+ib)\,$  є елемент  $-(a+ib)=(-a)+i(-b)=-a-ib\,$ .
Г4. $(a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d) = (c+a)+i(d+b) = (c+id)+(a+ib)\,$ – комутативність додавання.
В1'. $((a+ib)\cdot(c+id))\cdot(u+iv)=(a+ib)((c+id)\cdot(u+iv))$  асоціативність множення. 
B2'. Нейтральний елемент відносно множення:$1=1+i0\,$  
B3'  Оберненим елементом до елемента   є  $(a+ib)^{-1}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$
B0'. $(a+ib)*(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc) = (ca-db)+i(da+cb) = (c+id)(a+ib)\,$ – комутативність множення.
D1.  $(a+ib)\cdot((c+id)+(u+iv))=(a+ib)\cdot(c+id)+(a+ib)\cdot(u+iv)$-дистрибутивність

Отже, множина впорядкованих пар$a+ib\,$ з введеними таким чином на них операціїми "+" і "*" утворює поле, яке надалі будемо позначати C.

Спряжені комплексні числа

Комплексні числа $a+ib\,$ та $a-ib\,$  називаються спряженими. Якщо $a\,$   комплексне число, то $\bar{a}\,$- його спряжене.

Обчислимо добуток деякого комплексного числа та його спряженого:

$(a+ib)\cdot(a-ib)=(a^2+b^2)+i\cdot 0=a^2+b^2$

Отже, добуток двох взаємноспряжених комплексних чисел є число дійсне. Виведемо формулу для ділення двох комплексних чисел:

$\frac{a+ib}{c+id}=(a+ib)\cdot(c+id)^{-1}=(a+ib)\cdot\frac{c-id}{c^2+d^2}$$=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}$

Правило: Ділення $\frac{\boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{\beta}}$ зручно виконувати, домножуючи чисельник і знаменник на спряжене до знаменника:

$\frac{1+3i}{1+i}=\frac{(1+3i)(1-i)}{1^2+1^2}=\frac{(1+3)+i(3-1)}{2}=2+i$

Геометричне зображення

Будь-яке комплексне число $(a+ib)\,$ задається двома компонентами $(a,b)\,$ , отже воно може бути зображене як точка на площині. Оскільки додавання комплексних чисел здійснюється покомпонентно, то сума векторів, що зображують комплексні числа, є вектором, який зображує суму цих чисел. Аналогічно, оскільки множення комплексного числа на дійсне здійснюється покомпонентно, то добуток вектора, що зображує комплексне число, на дійне число є вектором, який зображує добуток цих чисел.

Модуль і аргумент комплексного числа

Довжина r радіус-вектора точки, що зображує комплексне число $z=a+ib\,$, називається модулем числа α і позначається | α | .

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 
Властивості:$|z|\ge0,|z|=0\Longleftrightarrow z=0$.

Означення:

Величина полярного кута точки, що зображує комплексне число $z\,$, називається аргументом цього числа 
і позначається $arg z\,$. При цьому  додатнім напрямком відліку аргумента комплексного числа вважаємо 
напрям від додатньої напівосі проти  годинникової стрілки.

Зауваження:

1. $arg 0\,$ не визначено.
2. $arg z\,$ визначається не однозначно, а з точністю до $2\cdot\pi k$ .

       $\varphi=arg z=\arccos\frac{a}{a^2+b^2}=\arcsin\frac{b}{a^2+b^2}$

Комплексне число $z\,$ повністю визначається своїм модулем $r\,$ та аргументом$\varphi \,$. Якщо задано $r\,$ та $\varphi \,$, то $z=a+ib\,$, де: $a=r\cos\varphi, b=r\sin\varphi$.

Тригонометричний запис комплексного числа

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$
Наприклад:

$1 = 1\cdot(\cos0+i\sin0)$
$-1 = 1\cdot(\cos\pi+i\sin\pi)$
$i = 1\cdot(\cos\frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2} )$
$1-i =\sqrt{2}(\cos\left(-\frac{\pi}{4} \right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4} \right))$

Множення комплексних чисел в тригонометричній формі

Нехай $\alpha_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$ і $\alpha_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$. Тоді: $\alpha_1\cdot\alpha_2=r_1r_2(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=$$=r_1r_2\left(\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\right)+i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\sin\varphi_1\cos\varphi_2\right)\right)$$=r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)$
Отже:

1.Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів;
2.Аргумент добутку двох комплексних чисел дорівнює сумі аргументів. 
  (Ці правила поширюються на будь-яку кількість співмножників.)

Піднесення комплексного числа до степеня. Формула Муавра

З правила множення комплексних чисел в тригонометричній формі випливає:

$\left(r\cdot\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\right)^n=r^n\left(\cos\mathit{n}\varphi+i\sin\mathit{n}\varphi\right)$

,для будь-якого натурального $\mathit{n}\,$. При $r=1\,$, маємо формулу Муавра:

$\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^n=\cos\mathit{n}\varphi+i\sin\mathit{n}\varphi$

Ця формула є справедливою і коли $n\,$ є цілим від′ємним, або $n =0\,$. Доведення:

• $n=0;\,$

$\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^0=1=\cos 0 + \sin 0$

• $n<0\Rightarrow \;m=-n$-є натуральним числом

$\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^n=\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{-m}$$=\frac{1}{\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^m}=\frac{1}{\cos\mathit{m}\varphi+i\sin\mathit{m}\varphi}=$
$=\frac{\cos\mathit{m}\varphi-i\sin\mathit{m}\varphi}{\cos^2\mathit{m}\varphi+\sin^2\mathit{m}\varphi}=$$=\frac{\cos\mathit(-m)\varphi+i\sin\mathit(-m)\varphi}{1}$$=\cos\mathit{n}\varphi+i\sin\mathit{n}\varphi$

Показникова функція

У Ейлера вистачило сміливості і фантазії дати розумне означення показникової функції з основою $\mathit{e}\,$:

$e^{a+bi}=e^a\left(\cos b + i\sin b\right)$

Ця формула не доводиться,оскільки вона є означенням.

Формули Ейлера

Враховуючи, що $\cos b +i\sin b=e^{bi}, \cos b-i\sin b=e^{-bi}\,$ маємо формули Ейлера:

$\cos b=\frac{e^{bi}+e^{-bi}}{2},\sin b=\frac{e^{bi}-e^{-bi}}{2}$

Натуральний логарифм

Безпосереднім наслідком формул Ейлера є показникова форма запису комплексного числа. $\alpha=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)=re^{i\varphi}$, звідки враховуючи $\alpha=re^{i\varphi}=e^{\ln r}\cdot e^{i\varphi}=e^{\ln r+i\varphi}$,маємо:

$\ln a = \ln r + i\varphi$

Корені з одиниці

Корінь з одиниці, або число де Муавра - будь-яке комплексне число, що при піднесенні до певного цілого степеня n перетворюється в 1. Таким чином, для комплексного числа z, що є n-тим коренем з одиниці (n = 1, 2, 3...):

$z^n = 1 \,$

Корінь з одиниці називається примітивним, якщо він не є k-тим коренем з одиниці для деякого цілого k, k<n:

$z^k \ne 1 \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n-1  ) \,$

Властивості

(1) Якщо z - n-тий корінь з одиниці, та a ≡ b (mod n), тоді z^a = z^b. За визначенням конгруентності, a = b + kn для певного цілого k. Але тоді

$z^a = z^{b+kn} = z^b z^{kn} = z^b (z^n)^k = z^b 1^k = z^b\;$

Таким чином, маючи z^a, можна припустити, що 1 ≤ a ≤ n, де z^a - примітивний a-тий корінь; це часто виявляється зручним.

(2) Будь-який цілий степінь n-того кореня з одиниці є також n-тим коренем з одиниці:

$(z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1\,$,

де k може бути від'ємним. \

(2.1) Зокрема, оберненим до n-того кореня з одиниці є його спряжене, котре, в свою чергу, також буде n-тим коренем з одиниці:

$\frac{1}{z} = z^{-1} = z^{n-1} = \bar z\,\,$

(3) Також для примітивного n-того кореня з одиниці z маємо:

$z^a = z^b \iff a\equiv b \pmod{ n}\,$

У випадку, коли z не примітивний, маємо імплікацію лише в одну сторону:

$a\equiv b \pmod{ n} \implies  z^a = z^b\,$

(4) Нехай z - примітивний n-тий корінь з одиниці, а k - додатне ціле число. З попередніх властивостей випливає, що z^k - примітивний корінь з одиниці для деякого a. Тоді при z^ka = 1 ka повинно бути кратним n. Найменше число, що одночасно ділиться на n та k - їхнє найменше спільне кратне, що можна позначити як НСК(n, k)(далі як lcm(n, k)). Його зв'язок з найбільшим спільним дільником, НСД(n, k) (далі як gcd(n, k)), можна описати наступним чином:

$k\,n = \gcd(k,n)\, \operatorname{lcm}(k,n),\;$ або $\operatorname{lcm}(k,n) = k \frac{n}{ \gcd(k,n)\, }.\;$

Тобто, z^k є примітивним a-тим коренем з одиниці, де

$a = \frac{n}{\gcd(k,n)}.\;$

Отже, якщо k та n - взаємно-прості, то z^k також буде примітивним n-тим коренем з одиниці, з чого випливає той факт, що існує φ(n) (де φ буде значенням функції Ейлера) різних примітивних n-тих коренів з одиниці. (З цього також випливає, що, коли n є простим числом, то усі корені, окрім 1, є примітивними).

(5) Корені з одиниці на декартовій площині утворюють правильний многокутник, що вписаний в одиничне коло.

(6) Корені з одиниці утворюють групу за множенням, що є ізоморфною до адитивної групи класів лишків $\mathbb{Z}_n$, що, в свою чергу, означає циклічність цієї групи.

(7) При n>1 для суми степенів будь-якого примітивного кореня з одиниці u виконується наступна рівність:

$\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0$