Колоквіум з АФБЗ

Ця стаття буде корисна для студентів природничого факультету.

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Поняття про m-вимірний простір Rm. Відстань між двома точками. Збіжність послідовності точок в Rm, еквівалентність з покоординатною. Приклади.

Rⁿ вводиться як декартів добуток з n чисел, що належать R. Порядок є важливим.

Відстань d: $\bar x = (x_1, x_2,... x_n), \bar y = (y_1, y_2,... y_n): d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$

Точка М тоді: $M (x_1^{n_1}, x_2^{n_2}, ...)$

Відстань між точками

Якщо M₁(x₁,y₁),M₂(x₂,y₂) - точки, то $d(M_1, M_2) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$

Для відстані мають виконуватись умови:

• $\forall \bar x,\bar y: d(\bar x, \bar y) \ge 0, d(\bar x, \bar y) = 0 \Leftrightarrow \bar x = \bar y$
• $\forall \bar x,\bar y: d(\bar x, \bar y) = d(\bar y, \bar x)$
• $\forall \bar x,\bar y,\bar z: d(\bar x, \bar y) \le d(\bar x, \bar z) + d(\bar z, \bar y)$

Нехай M₀∈Rⁿ. δ-окіл точки M₀ - це множина всіх точок M таких, що d(M₀M)<δ. Позначення - U_δ(M₀).

Послідовність точок збігається $M_k(x_1^{(k)},...x_n^{(k)}) \to M_0(x_1^{(0)},...x_n^{(0)})$

M_k-послідовність збігається до точки M₀ при $k \to \infty$ тоді і тільки тоді $\quad \forall \epsilon > 0 \quad \exists k_0 \quad \forall k \ge k_0: d(M_0, M_k) < \epsilon \qquad (1)$

$\left (M_k \in U_\epsilon (M_0) \right )$

Теорема

Збіжність в просторі Rⁿ послідовності точок є покординатною, тобто $M_k \to M_0 (k \to \infty) \Leftrightarrow x_i^{(k)} \to x_i^{(0)} (k \to \infty)$.

$\Rightarrow$

$(1) \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i^n - x_i^0)^2} < \epsilon \Rightarrow \big| x_i^n - x_i^0\big| < \epsilon, \forall k_0$

$\Leftarrow$

За теоремою про арифметичні дії: $x_i^{(k)} \to x_i^{(0)} \Rightarrow \sum_{i=1}^n (x_i^k - x_i^0)^2 \to 0 \Rightarrow M_k \to M_0$

Лінії рівня функцій двох змінних та поверхні рівня функцій трьох змінних. Що таке метод перерізів? Продемонструвати його на прикладі функції z=x-y2.

Означення:

Лінією рівня функції від двох змінних $z=f(x,y)\,$ називається множина точок площин xOy таких, що $f(x,y)=const=C\,$.

Визначення ліній рівня (як і перерізу) полягає в визначенні зрізів площини взовж оZ паралельно до xOy.

Демонструємо на прикладі $z=x-y^2\,$:

1) z=0, $x-y^2=0\,$, $y=\pm\sqrt{x}\,$ - будуємо відповідний графік

2) z=1, $x-y^2=1,y^2=x-1\,$, $y=\pm\sqrt{x-1}\,$

3) z=-1, $x-y^2=-1\,$, $y=\pm\sqrt{x+1}$

З'єднавши перерізи в одне ціле, можемо отримати уявлення про форму тіла.

Частинні прирости та частинні похідні функцій багатьох змінних. Їх геометричний зміст.

Частинні похідні

Нехай ф-ція $z = f(x)\,$, визначена в деякому околі точки M(x,y). Надамо змінній х приросту $\Delta x\,$, залишаючи змінну у незмінною, так, щоб точка $M_1(x + \Delta x, y) \,$ належала заданому околу.

Величина $\Delta_x z = f(x + \Delta x, y) - f(x,y) \,$ називається частинним приростом функції $f(x,y)\,$ по змінній х.

Аналочічно – по змінній у.

Якщо існує границя $\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x }$, то вона називається частинною похідною функції $f(x,y)\,$ в точці $M(x,y)\,$ і позначається одним з таких символів: $z'_x, f'_x, \frac {\partial z} {\partial x}, \frac {\partial f} {\partial x}$

$f'_x(x_0, y_0), f'_{x|M_0} \,$ - частинні похідні по х в точці $M_0(x_0, y_0)\,$.

Аналогічно – по у.

Диференціал функції кількох змінних. Достатня умова існування диференціалу (диференційовності). Дотична площина. Нормаль.Застосування першого диференціалу для наближених обчислень.

Нехай в околі точки $\overrightarrow{x_0}=\{x_0^1,x_0^2,...,x_0^n\}$ задана функція багатьох змінних $f(\overrightarrow{x}): X \rightarrow Y$.

Нехай існує такий вектор $\overrightarrow{A}=\{A^1,A^2,...,A^n\}$, що $f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{x_0})=\overrightarrow{A} (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}) + o(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0})$ при $\overrightarrow{x} \rightarrow \overrightarrow{x_0}$, де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначим $\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}=\overrightarrow{dx}=\{{dx}^1,{dx}^2,...,{dx}^n\}$.

Тоді функція $df=\overrightarrow{A}\overrightarrow{dx}$ називатиметься диференціалом функції $f(\overrightarrow{x})$ в точці $\overrightarrow{x_0}$.

Диференційованість

Нехай функція $z = f(x,y)\,$ визначена в деякому околі точки $(x_0,y_0)\,$ і нехай $\Delta x = x - x_0\,$ та $\Delta y = y - y_0\,$. Функція $f\,$ називається диференційованою в точці $(x_0,y_0)\,$ , якщо приріст $\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\,$ можна представити у вигляді:

$\Delta z = A\Delta x + \alpha(\Delta x)\,$.

де:

$A\,$ — стала. При фіксованій $x_0\,$ $y_0\,$ A не залежить від $\Delta x\,$ $\Delta y\,$; але, при зміні $x_0\,$ $y_0\,$, взагалі кажучи, A також змінюється,

$\alpha(\Delta x) = o(\Delta x)\,$ при $x \to 0\,$

$\alpha(\Delta y) = o(\Delta y)\,$ при $y \to 0\,$.

Дотична площина.

Нехай задано поверхню

$F(x,y,z) = 0 \qquad \qquad \qquad (1)$

Точка $M_0(x_0; y_0; z_0)\,$ належить цій поверхні, і задана функція диференційовна в цій точці, причому не всі частинні похідні в цій точці рівні 0.

Розглянемо довільну криву $L\,$, яка проходить через $M_0\,$, лежить на поверхні (1) і задається рівнянням

$x = x(t); y = y(t); z = z(t)\,$,

де точці $M_0\,$ відповідає параметр $t_0\,$.

Оскільки крива лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють (1):

$F(x(t), y(t), z(t)) = 0 \qquad \qquad \qquad (2)\,$

Диференціюючи (2), маємо:

$\frac {\partial F}{\partial t} = \frac {\partial F}{\partial x} \cdot \frac {\partial x}{\partial t} + \frac {\partial F}{\partial y} \cdot \frac {\partial y}{\partial t} + \frac {\partial F}{\partial z} \cdot \frac {\partial z}{\partial t} = 0 \qquad \qquad \qquad (3)$

Ця рівність показує, що вектори

$\overrightarrow n = (F'_x(M_0), F'_y(M_0), F'_z(M_0)), \overrightarrow s = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$ ортогональні, причому другий - напрямний вектор дотичної до кривої $L\,$ у точці $M_0\,$.

Крім того, з (3) випливає, що дотичні до всіх кривих, які проходять через точку M₀ ортогональні до одного і того ж вектора $\overrightarrow n$. Тоді всі ці дотичні лежать в одній площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці $M_0\,$.

Знайдемо її рівняння. Оскільки ця площина проходить через точку $M_0\,$ перпендикулярно до вектора $\overrightarrow n$, то її рівняння має вигляд:

$F'_x(M_0) (x - x_0) + F'_y(M_0) (y - y_0) + F'_z(M_0) (z - z_0) = 0 \qquad \qquad \qquad (4)$

Нормаль.

Нормаллю до поверхні в точці $M_0\,$ називають пряму, що проходить через точку $M_0\,$ перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.

Оскільки нормаль проходить через точку $M_0\,$ і має напрямний вектор $\overrightarrow n$, то канонічні рівняння нормалі мають такий вигляд:

$\frac {x - x_0} {F'_x(M_0)} = \frac {y - y_0}{ F'_y(M_0)} = \frac {z - z_0} {F'_z(M_0)} \qquad \qquad \qquad (5)$

Градієнт функції багатьох змінних та формула визначення похідної за напрямком через градієнт. За яким напрямком значення похідної за напрямком найбільше? Обгрунтувати, що градієнт перпендикулярний до лінії рівня для функції двох змінних.

Градієнтом функції f в точці $x\,$ називається вектор $grad f(x) = \frac {\partial f(x)}{\partial x_1} + ... + \frac {\partial f(x)}{\partial x_m}$

Для похідної функції f у напрямку $\bar a \$ маємо: $\acute{f}_{\bar a} = (grad f(x), \bar a )$. Отже, серед похідних $\acute{f}_{\bar a}$, обчислених у фіксованій точці $x\,$ найбільше значення має та, для якої напрям $\bar a$ збігається з напрямком градієнта.Вона дорівнює величині градієнта, тобто
$\left | grad f(x) \right \vert = \sqrt{ \sum_{i=1}^m ( \frac {\partial f}{\partial x_i})^2}$

Похідні за напрямком та частинні похідні функцій багатьох змінних. Градієнт функції багатьох змінних та формула визначення похідної за напрямком через градієнт.

Похідна за напрямком - це узагальнений випадок поняття похідної у випадку функції багатьох змінних.

Похідна функції однієї змінної показує, як змінюється її значення при малій зміні аргументу. Для функції багатьох змінних зміна аргументу може відбуватися у різних напрямках, при цьому значення похідної можуть бути різними. Тому вводиться поняття похідної за напрямком.

Розглянемо функцію $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ від n аргументів у околі точки $\overrightarrow x^0 = (x_1^0, x_2^0, \dots, x_n^0)$. Для будь-якого одиничного вектора $\overrightarrow e = (e_1, \dots, e_n)$ визначимо похідну функції f у точці $\overrightarrow x^0$ за напрямком вектора $\overrightarrow e$ наступним чином:

$D_{\overrightarrow e} f(\overrightarrow x) = \lim_{h \to 0 } \frac {f( \overrightarrow x^0 + h \cdot \overrightarrow e) - f (\overrightarrow x^0)}{ h }$

Значення цього виразу показує, наскільки швидко змінюється значення функції при зсуві аргументу в напрямку вектора $\overrightarrow e$.

Частинні похідні

Нехай ф-ція $z = f(x)\,$, визначена в деякому околі точки $M(x,y)\,$. Надамо змінній $x\,$ приросту $\Delta x\,$, залишаючи змінну у незмінною, так, щоб точка $M_1(x + \Delta x, y) \,$ належала заданому околу.

Величина $\Delta_x z = f(x + \Delta x, y) - f(x,y) \,$ називається частинним приростом ф-ції $f(x,y)\,$ по змінній $x\,$.

Аналочічно – по змінній $y\,$.

Якщо існує границя $\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x }$, то вона називається частинною похідною функції $f(x,y)\,$ в точці $M(x,y)\,$ і позначається одним з таких символів: $z'_x, f'_x, \frac {\partial z} {\partial x}, \frac {\partial f} {\partial x}$

$f'_x(x_0, y_0), f'_{x|M_0} \,$ - частинні похідні по х в точці $M_0(x_0, y_0)\,$.

Аналогічно – по у.

Градієнт, формула визначення похідної за напрямком через градієнт.

Вектор, координатами якого є значення частинних похідних ф-ції $u(x,y,z)\,$ в точці $M(x;y;z)\,$, називають градієнтом ф-ції в цій точці і позначають $grad u\,$. Отже, $grad u = \frac {\partial u}{\partial x} \overrightarrow i + \frac {\partial u}{\partial y} \overrightarrow j + \frac {\partial u}{\partial z} \overrightarrow k$

Теорема. Похідна ф-ції $u(x,y,z)\,$ в точці $M(x;y;z)\,$ за напрямом вектора $\overrightarrow l$ дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на вектор $\overrightarrow l$, тобто $\frac {\partial u}{\partial l} = pr_{\overrightarrow l} grad u$ .

Нехай $\varphi$ - кут між градієнтом і одиничним вектором $\overrightarrow l_0 = (\cos \alpha; \cos \beta; \cos \gamma)$, дістанемо: $\frac {\partial u}{\partial l} = \frac {\partial u}{\partial x} \cos \alpha + \frac {\partial u}{\partial y} \cos \beta + \frac {\partial u}{\partial z} \cos \gamma = (grad u)\overrightarrow l_0 = |grad u | * |\overrightarrow l_0| \cos \varphi = |grad u| \cos \varphi = pr_{\overrightarrow l} grad u$

Похідні вищих порядків. Теорема Шварца про достатні умови рівності змішаних похідних.

Нехай М - відкрита множина в R^m, $\bar a , \bar b$ - фіксовані напрямки. припустимо, що $\forall x \in M \exists \acute{f}_{\bar a}(x)$ Тоді визначена функція $\acute{f}_{\bar a}(x):M \to R$
Похідну функції $\acute{f}_{\bar a}$ в точці $x \in M$ у напрямку $\bar b$, якщо вона існує, називають похідною другого порядку функції f в точці х у напрямках $\bar a , \bar b$. Позначається $\acute{f}_{\bar a \bar b}(x)$.
Нехай $\bar a_1 , ... , \bar a_n$ - деякі напрямки. припустимо, що для $\forall x \in M$ визначена похідна першого порядку у n-1 напрямках $\bar a_1 , ... , \bar a_{n-1}$:

${f}_{\bar a_1... \bar a_{n-1}}^{(n-1)}(x)$
Тоді похідною порядку n функції f в точці х у напрямках $\bar a_1 , ... , \bar a_n$ називають похідну
${(f_{\bar a_1... \bar a_{n-1}}^{(n-1)} \acute {)}}_{\bar a_n}(x)$ =: $f_{\bar a_1... \bar a_{n-1}}^{(n)}(x)$
якщо вона існує
Означення. Частковими похідними порядку n функції f в точці х назівають похідні $f_{\bar e_{i_1}... \bar e_{i_k}}^{(n)}(x)$ , де $1 \le i_k \le m\,$,$k=1,...,n, e_i\,$ - вектор, у якого всі координати. за винятком і-тої дорівнюють 0, а і-та рівна 1. Позначається $\frac {\partial ^n f(x)}{\partial x_{i_1}....\partial x_{i_n}}$, $f_{\bar x_{i_1}... \bar x_{i_n}}^{(n)}(x)$


ТЕОРЕМА ШВАРЦА
Нехай функція $z=f(x,\;y)$, та її часткові похідні $\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}$ визначені в деякому околі точки $(x_0,\;y_0)$. Тоді границя $\lim_{\Delta y \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0, y_0 + \Delta y)}{\partial x} - \frac{\partial f(x_0,\;y_0)}{\partial x} }}{\Delta y}},$

якщо вона існує, називається змішаною похідною функції $f(x,\;y)\,$ в точці $(x_0,\;y_0)\,$ і позначається $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial x \partial y}$.

Аналогічно визначається $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial y \partial x}$ як: $\lim_{\Delta x \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0 + \Delta x,\;y_0)}{\partial y} - \frac{\partial f ( x_0,\;y_0)}{\partial y}}}{\Delta x}},$ якщо вона існує.

Змішані часткові похідні більше другого порядку визначаються індуктивно.
Позначимо

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = z''_{xy}$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = z''_{yx}$

• Звичайно має місце рівність $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$. Більше,того певний час вважалось, що ця рівність виконується завжди. Але це не так.

Теорема Шварца
Нехай виконуються умови:

1. функції $z=f(x,\;y),\;\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ визначені в деякому околі точки $(x_0,\;y_0)$.
2. $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ неперервні в точці $(x_0,\;y_0)$.

Тоді $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial y \partial x}$, тобто змішані похідні другого порядку рівні в кожній точці, де вони неперервні.

Теорема Шварца про рівність змішаних часткових похідних індуктивно поширюється на змішані часткові похідні вищих порядків, за умови неперервності.

• Тим не менше, умова неперервності змішаних похідних зовсім не є необхідною в теоремі Шварца.

Наприклад:
$f(x,\;y)= \begin{cases}\displaystyle{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}},\quad x^2+y^2>0 \\0,\quad x=y=0 \end{cases} \Rightarrow$ змішані похідні другого порядку рівні скрізь, хоча, мають розрив в точці $(0,\;0)$.

Диференціал другого порядку, чому він має такий вигляд. Формула Тейлора розвинення функції в околі заданої точки.

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции $~z$  в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

$~d^nz= d(d^{n-1}z)$  .

Для функции, зависящей от одной переменной $~z = f(x)$  второй и третий дифференциалы выглядят так:

$~d^2z = d(dz) = d(z'dx) = dz'dx = (z''dx)dx = z''dx^2$

$~d^3z = d(d^2z) = d(z''dx^2) = dz''dx^2 = (z'''dx)dx^2 = z'''dx^3$

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z = f(x)$ :

$~d^nz = z^{(n)}dx^n$

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что $~dx$ есть произвольное и не зависящее от $~x$ , которое при дифференцировании по $~x$  следует рассматривать как постоянный множитель.

Если функция $~z = f(x,y)$  имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: $~d^2z= d(dz)$.

$d^2z = d(\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy) = (\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy)'_xdx+ (\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy)'_ydy =$

$= (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx + \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}dy)dx + (\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dx + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy)dy$

$d^2z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2 x}{\partial x\partial y}dxdy + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2$

$d^2z = (\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy)^2z$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z = f(x_1,...,x_n)$ выглядит следующим образом:

$d^nz = (\frac{\partial}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial}{\partial x_2}dx_2+ ... +\frac{\partial}{\partial x_n}dx_n)^nz$

где $~z = f(x_1,x_2,...x_n)$, а  $~dx_1,...,dx_n$ произвольные приращения независимых переменных $~x_1,...,x_n$.
Приращения $~dx_1,...,dx_n$  рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Формула Тейлора розвинення функції багатьох змінних в околі заданої точки.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ НА ВИКИПЕДИИ(разложены некоторые функции): Wikipedia

Якщо ф-ція 1-ї змінної $F(t)\,$ має на відрізку [α,β] непервні похідні до $(n+1)\,$ порядку включно, то справджується формула Тейлора, яку можна записати в такому вигляді:

$\Delta F (t_0) = dF(t_0) + \frac {d^2 F(t_0)}{2!} + \dots + \frac {d^n F(t_0)}{n!} + \frac {d^{n+1} F(t_0 + \theta \Delta t) }{(n+1)!}, \qquad 0 < \theta < 1 \qquad \qquad \qquad \qquad(1)$

Нехай z$= f(x, y)\,$ в області $D\,$ має непервні частинні похідні до $n+1\,$ порядку включно. Візьмемо 2 точки $M_0(x_0; y_0; z_0)\,$ і $M_1(x_0 + \Delta x; y_0 + \Delta y; z_0 + \Delta z)\,$ такі, що відрізок $M_0 M_1\,$ належить області $D\,$.

Введемо змінну $t\,$:

$x = x_0 + t \Delta x; y = y_0 + t \Delta y; \qquad 0 < t < 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Тоді точка $M_0(x_0 + t \Delta x; y_0 + t \Delta y)\,$ опише весь відрізок $M_0 M_1\,$. Тоді вздовж цього відрізка функція буде функцією від 1 змінної $t\,$.

$f(x, y) = f (x_0 + t \Delta x, y_0 + t \Delta y) = F(t) \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

Запишемо формулу (1) для функції (3) при $t = 0, \Delta t = 1 \,$

$\Delta F(0) = dF(0) + \frac {d^2 F(0)}{2!} + \dots + \frac {d^n F(0)}{n!} + \frac {d^{n+1} F(\theta) }{(n+1)!} \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Обчислимо диференціали, що входять в (4). З (2) і (3) маємо:

$dF(t) = df(x, y) = f'_x (x, y)dx + f'_y(x,y)dy = f'_x(x,y) \Delta x dt + f'_y(x,y) \Delta y dt\,$

Оскільки $dt = \Delta t = 1\,$, то

$dF(0) = f'_x (x, y) \Delta x + f'_y(x,y) \Delta y = df(x_0, y_0) \qquad \qquad \qquad \qquad (5)$

Аналогічно

$d^2 F(0) = d^2 f(x_0, y_0), \dots, d^n F(0) = d^n f(x_0, y_0), d^{n+1} F(\theta) = d^{n+1} f(x_0 + \theta \Delta x,y_0 + \theta \Delta y ) \qquad \qquad \qquad \qquad (6)$

Крім того, приріст

$\Delta F(0) = F(1) - F(0) = f(M_1) - f(M_0) = \Delta f(x_0, y_0) \qquad \qquad \qquad \qquad (7)$

Підставимо (4)-(7) у (2), маємо:

$\Delta f(x_0, y_0) = df(x_0, y_0) + \frac {d^2 f(x_0, y_0)}{2!} + \dots + \frac {d^n f(x_0, y_0)}{n!} + R_{n+1} \qquad \qquad \qquad \qquad (8)$ $R_{n+1} = \frac { d^{n+1} f(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y) }{(n+1)!} \qquad \qquad \qquad \qquad (9)$

Ф-лу (8) називають формулою Тейлора для ф-ції двох змінних з залишковим членом $R_{n+1}\,$ у формі Лагранжа.

Екстремальні значення функцій багатьох змінних. Необхідні умови екстремуму. Достатня умова екстремума функції 2-х змінних.

Достатня умова екстремума функції 2-х змінних Нехай функція f(x,y) визначена, неперервна і має неперервні чсткові похідні першого і другого порядків у деякому околі точки (x₀,y₀), яка є стаціонарною, тобто
$\frac {\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0$, $\frac {\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$
Нехай $a_{11} = \frac {\partial ^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)$, $a_{12} = \frac {\partial ^2 f}{{\partial x}{\partial y}}(x_0, y_0)$, $a_{22} = \frac {\partial ^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)$ =0,

тоді: якщо $a_{11}a_{22} - a_{12}^2 > 0$, то в стаціонарній точці (x₀,y₀) функція f(x,y) має екстремум, а саме, строгий максимум при a₁₁ < 0 і строгий мінімум a₁₁ > 0при; якщо ж $a_{11}a_{22} - a_{12}^2 < 0$, то екстремум відсутній. У випадку $a_{11}a_{22} - a_{12}^2 = 0$ потрібне додаткове дослідження

Локальний екстремум функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму

Локальний екстремум

Нехай $z= f(x,y)\,$ визначена в області $D\,$, а точка $M_0(x_0; y_0) \in D\,$. Якщо існує окіл точки $M_0\,$, який належить $D\,$ і для усіх $M \ne M_0 : f(M) < f(M_0) (f(M) > f(M_0))\,$, то точку $M_0\,$ називають точкою локального максимуму (мінімуму) функції $f(x,y)\,$, а число $f(M_0)\,$ - локальним максимумом (мінімумом) цієї функції. Точки максимуму та мінімуму функції називаються її точками екстремуму (>, < - строгий, $\le, \ge\,$ - нестрогий).

Теорема(необхідні умови екстремуму). Якщо функція $z= f(x,y)\,$ має в точці $(x_0; y_0)\,$ локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних $x, y\,$ рівні 0 або не існують.

Теорема(достатні умови екстремуму). Нехай в стаціонарній точці $M_0(x_0; y_0)\,$ і деякому її околі функція $f(x,y)\,$ має неперевні частинні похідні другого порядку. Якщо $\Delta (x_0, y_0) = f''_{xx}(x_0, y_0) f''_{yy}(x_0, y_0) + ( f''_{xy}(x_0, y_0))^2 > 0\,$, то функція $f(x,y)\,$ в точці $M_0(x_0; y_0)\,$ має екстремум, причому максимум при $f''_{xy}(x_0, y_0) < 0 \,$ і мінімум при $f''_{xy}(x_0, y_0) > 0 \,$. Якщо $\Delta (x_0, y_0) < 0 \,$, то в точці $M_0(x_0; y_0)\,$ екстремуму немає, при $\Delta (x_0, y_0) = 0 \,$ потрібно досліджувати додатково.

Додатно визначені квадратичні форми та квадратні матриці. Достатні умови екстремуму

Квадратичною формою називається функція $B(x)=A(x,x)\,$ із лінійного підпростору $L\,$ над будь-яким полем $F\,$ характеристики не 2 в полі $F\,$, яка утворюється із білінійної форми $A(x,y)\,$ при $x=y\,$.

При фіксованому базисі $e_1,\ldots,e_n\,$ в $L\,$ квадратична форма має вигляд

$A(x,x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^i x^j$

де $x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n=\sum_{i=1}^n x^i e_i$, а $a_{ij}=a_{ji}\,$.

Матрицю $(a_{ij})\,$ називають матрицею квадратичної форми в даном базисі.

Квадратична $f(x_1,...,x_n)\,$ форма називається строго додатньо визначеною, якщо $\forall(x_1,...,x_n)\ne 0$, $f(x_1,...,x_n) > 0\,$. Не строго - $f(x_1,...,x_n) \ge 0\,$
Hаз строго від'ємно визначеною $f(x_1,...,x_n) < 0\,$. Hе строго $f(x_1,...,x_n) \le 0\,$

Додаткові матеріали дивитись тут

Умовні екстремуми, обгрунтування методу Лагранжа (теорема).

Визначення

Нехай на G визначена функція $y = f_{0}(\bar x)$. Точка $\bar x_{0} \in E$ називається точкою умовного екстремуму функції $y = f_{0}(\bar x)$ відносно рівнянь зв'язку, якщо вона є точкою звичайного екстремуму $f_{0}(\bar x)$ на множині E ( розглядаються окіли $U_{E}(\bar x_{0})\bigcap E$ ).є

Теорема

Нехай $\bar x_{0}$ - точка умовного екстремуму функції $f_{0}(\bar x)$ при виконанні рівнянь зв’язку. Тоді в цій точці $\bar x_{0}$ градієнти $\nabla f_{i}, i = 0,1,..,m$ є лінійно залежні, тобто $\exists \lambda _{i}, i = 0,1,..,m: \sum^{m}_{i=0} |\lambda _{i}| \ne 0$ але $\sum^{m}_{i=0} \lambda _{i} \nabla f_{i} = \bar 0$.

Наслідок

Якщо $\bar x_{0}$ - точка умовного екстремуму функції $f_{0}(\bar x)$ відносно рівнянь зв’язку, то $\exists \lambda _{1},..,\lambda _{m}$ такі, що в точці $\bar x_{0}~~\nabla f_{0} + \lambda _{1} \nabla f_{1} + .. + \lambda _{m} f_{m} = \bar 0$ або в координатному вигляді $\frac{\partial f_{0}}{\partial x_{1}}(\bar x_{0}) + \lambda _{1}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(\bar x_{0}) + .. + \lambda _{m}\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(\bar x_{0}) = 0$.

Достатня умова умовного екстремуму

Нехай $\bar x_{0}$ є стаціонарною точкою функції Лагранжа $L(\bar f, \bar \lambda, \bar x)$ при $\lambda = \bar \lambda _{0}$. Якшо $d^2 L(\bar x_{0}$ - від'ємно (додатнью) визначена квадратична форма змінних dx₁,..,dxn при умові $df_{1}(\bar x_{i} = 0 , i = 1,.., m$, то $\bar x_{0}$ є точкою max (min для додатньо визначенної) умовного екстремуму. Якщо вона за цих умов не є знаковизначенною, тоді екстремуму немає.

Подвійний інтеграл: означення, зведення до повторного.

Вишенський, Оленко:

Подвійний інтеграл: означення, зведення до повторного 1.

Подвійний інтеграл: означення, зведення до повторного 2.

Заміна змінних в подвійному інтегралі. Якобіан. Перехід до полярної системи координат.

$x = x(u,v), y = y(u,v) \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

$u = u(x,y), v = v(x,y) \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

$M(x,y) \in D, M^*(u,v) \in D^*$

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область D в замкнену обмежену область D ^* і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області D ^* неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від 0 визначник

$J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac {\partial x} {\partial u} & \frac {\partial x} {\partial v} \\ \\ \frac {\partial y} {\partial u} & \frac {\partial y} {\partial v} \end{vmatrix} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

а функція f(x,y) неперервна в області D, то справедлива така формула заміни змінних:

$\iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D^*} f(x(u,v),y(u,v)) |J(u,v)| du dv \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Функціональний визначник (3) називається якобіаном.

В полярних координатах:

$x = \rho \cos \varphi, y = \rho \sin \varphi.$

$J(\rho, \varphi) = \begin{vmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{vmatrix} = \rho$

$\iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D^*} f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) \rho d \rho d \varphi$

Застосування подвійного інтегралу до задач механіки.

Нехай G — матеріальна пластинка (квадрована фігура) в площині xy із густиною ρ(x,y)

1. $m = \iint\limits_{G}{\rho\left( x,y \right)dxdy }$ — маса пластинки;
2. $M_x = \iint\limits_{G}{y\rho\left( x,y \right)dxdy }$, $M_y = \iint\limits_{G}{x\rho\left( x,y \right)dxdy }$ — cтатичні моменти пластинки відносно осей ox, oy;
3. $x_c = \frac{M_y}{m}$, $y_c = \frac{M_x}{m}$ — координати центру тяжіння пластинки;
4. $J_x = \iint\limits_{G}{y^2\rho\left( x,y \right)dxdy }$, $J_y = \iint\limits_{G}{x^2\rho\left( x,y \right)dxdy }$ — момент інерції пластинки відносно осей ox, oy;
5. $J_0 = J_x + J_y = \iint\limits_{G}{(x^2 + y^2)\rho\left( x,y \right)dxdy }$ — момент інерції відносно початку координат;

квадрована фігура - фігура, яку можна розбити на одиничні квадрати, тоді площа фігури буде дорівнювати кількості таких квадратів.

Потрійний інтеграл: означення, зведення до повторного.

Означення

Нехай $f(x,y,z)\,$,$(x,y,z)\in U$ — функцiя вiд трьох змiнних, $U \,$ — обмежений тривимiрний простiр.

Розiб'ємо $U \,$ на частини: $\triangle U_1, \triangle U_2, ..., \triangle U_n$, в кожній із яких візьмемо точку $M_i(x_i,y_i,z_i)\,$ та складемо інтегральну суму:

$\sum_{i=1}^n f(x_i;y_i;z_i) \triangle V_i$, тоді, якщо існує границя функції:

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i;y_i;z_i) \triangle V_i = I$, що не залежить від способу розбиття $U \,$ на $n \,$ частин $\triangle U_1, \triangle U_2, ..., \triangle U_n,$ та від вибору точок $M_i \in U_i$, то границя $I \,$ називається потрійним інтегралом від функції $f(x;y;z)\,$ по об'єму $U \,$.

Теорема

Якщо функція $f(x,y,z)\,$, $(x,y,z) \in U$ — неперервна, то вона інтегровна по $U \,$.

Зведення до повторного інтегралу

Нехай функція $f(x,y,z) \,$ — неперервна в області $T\,$, область $T = [a,b;c,d;e,f]\,$ (прямокутний паралелепіпед), що проектується на площину $yz \,$ в прямокутник $R = [c,d; e,f]\,$, тоді:

$\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)dxdydz} = \int\limits_{a}^{b}{dx} \iint\limits_{R}{f(x,y,z)dydz}$, замінюючи подвійний інтеграл повторним отримуємо:

$\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)dxdydz} = \int\limits_{a}^{b}{dx} \int\limits_{c}^{d}{dy} \int\limits_{e}^{f}{f(x,y,z)dz}$.

Заміна змінних в потрійному інтегралі. Якобіан. Перехід до сферичної та циліндричної систем координат.

Заміна змінних у кратному інтегралі

Пусть у нас задано биективное отображение ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$, переводящее область $\ {{D}'}$ в $\ D$:

$\left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & \ldots \\ & {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.$,

где $t\,$ — «старые» координаты, а $x\,$ — «новые» координаты. Пусть также функции, задающие отображение, имеют в области $\ {{D}'}$ непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля Якобиан $\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}$. Тогда при условии существования интеграла $\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}$ справедлива формула замены переменных:

$\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}$

Якобіан

$\det \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}$

Перехід до циліндричних координат

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ r$. Таким образом получаем, что

$\iiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd\varphi dh}$

Здесь $rdrd\varphi dh$ является элементом объема в цилиндрических координатах.

Перехід до сферичних координат

$\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ {{r}^{2}}\sin \theta$. Таким образом получаем, что

$\iiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }$

Здесь ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$ является элементом объема в сферических координатах.

Найважливіші застосування потрійного інтегралу.

Пусть $\mu(x, y, z) \,$ — объемная непрерывная плотность тела $V\,$. Тогда:

• масса тела $V\,$

$m = \iiint\limits_{V} \mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• статические моменты относительно координатных плоскостей:

$M_{yz} = \iiint\limits_{V} x\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{xz} = \iiint\limits_{V} y\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{xy} = \iiint\limits_{V} z\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• координаты центр масс тела:

$x_c = \frac{Myz}{m}$, $y_c = \frac{Mxz}{m}$, $z_c = \frac{Mxy}{m}$,

• момент инерции тела:

• относительно координатных плоскостей

$I_{xy} = \iiint\limits_{V} z^2\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{yz} = \iiint\limits_{V} x^2\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{xz} = \iiint\limits_{V} y^2\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• относительно координатных осей

$I_{x} = \iiint\limits_{V} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{y} = \iiint\limits_{V} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{z} = \iiint\limits_{V} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• относительно начала координат

$I_{0} = \iiint\limits_{V} (x^2 + y^2 + z^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

Обчислити об’єм тіла, обмеженого еліпсоїдом.

Дуже корисні матеріали

Криволінійні інтеграл першого типу. Найважливіші інтерпретації.

Нехай L - гладенька крива скінченної довжини, а $f(x,y,z)\,$ - функція, визначена і неперервна в точках цієї кривої. Подрібнимо криву $L\,$ на $n\,$ криволінійних шматочків (дуг) $\Delta L_i \,$, оберемо на кожному з них по одній точці $(x_i,y_i, z_i)\,$ позначимо через $\Delta s_i\,$ довжину дуги $\Delta L_i.\,$ Через $\Lambda\,$ позначимо найбільше зпоміж чисел $s_i\,$. Утворимо суму

$\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta s_i \,$ (1)

Можна довести, що при ущільненні подрібнень кривої $L\,$ (тобто коли $\lambda \longrightarrow 0\,$ ) суми (1) прямуватимуть до певного числа, яке не залежить ні від вибору точок,
які розтинають криву на дуги $\Delta L_i\,$, ні від вибору точок $(x, y, z) \,$ вздовж кривої L за довжиною дуги або ж криволінійним інтегралом першого типу і позначається так:

$\int_{l}^{} f(x,y,z) \, ds$ (2)

Найважливіші інтерпретації криволінійного інтеграла першогог типу (за довжиною дуги a) Якщо вздовж кривої L розподілено масу з лінійною густиною $f(x,y,z)\le \ 0 \,$ то сума (1) наближено виражає всю масу кривої, а інтеграл (2) дає точне значення маси.
б) за умов попереднього пункту інтеграли

$M_{x,y} = \int_{l}^{} zf(x,y,z)\, ds \,$
$M_{x,z} = \int_{l}^{} yf(x,y,z)\, ds \,$
$M_{y,z} = \int_{l}^{} xf(x,y,z)\, ds \,$

виражають відповідно статичні моменти кривої L выдносно координатних площин xOy, xOz та yOz. Координати центра мас кривої формулюються за формулами: $x_0 = \frac{M_(y,z)}{m}, y_0 = \frac{M_(x,z)}{m}, z_0 = \frac{M_(x,y)}{m},$
де m - маса кривої.
Зокрема при $f(x,y,z)\equiv \ 1$ звідси тістаємо формули для обчислення координат геометричного центра мас кривої L.

в) за умов пункту а) інтеграли
$J_x = \int_{l}^{} (y^2 + z^2)f(x,y,z)\, ds \,$
$J_y = \int_{l}^{} (x^2 + z^2)f(x,y,z)\, ds \,$
$J_z = \int_{l}^{} (y^2 + y^2)f(x,y,z)\, ds \,$
виражають моменти інерції кривої L відносно відповідних координатних осей.
г) Нехай L - плоска крива, що лежить у площині хОу, а $f(x,y)\,$- невід`ємна функція, визначена і неперервна в точках цієї кривої. Уявімо собі, що в кожній точці кривої L відкладено перпендикулярний площині хОу відрізок завздовжки f(x,y). Ці відрізки утворять циліндричну поверхню. Цілком зрозуміло, що сума

$\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta s_i \,$
дає наближене означення площі цієї поверхні. Граничне значення суми, тобто

$\int_{l}^{} f(x,y)\, ds \$
виражає її площу. Більш загально - нехай циліндрична поверхня $\Phi(x,y) = 0 \,$ перетинає площину хОу вздовж кривої L, а $z = g (x,y)\,$і $z = h (x,y)\,$ - функції,
визначені і неперервні в усіх точках цієї кривої, причому $g(x,y) \le \ h(x,y) \,$ для всіх $(x,y) \in L\,$; тоді інтеграл

$\int_{l}^{} [g(x,y,)- h(x,y)]\, ds \,$
виражає площу всієї тієї частини циліндричної поверхні $\Phi(x,y)= 0\,$, яка затиснута між двох поверхонь $z = g (x,y)\,$ та $z = h (x,y)\,$.

Формула Гріна для плоского випадку.

Формула Гріна пов’язує подвійний інтеграл по області D з криволінійним інтегралом по межі L цієї області.

Теорема. Нехай D – деяка правильна область, обмежена замкненим контуром L, і функції Р(х,у) і Q(x,y) неперервні разом зі своїми частинними похідними $\frac {\partial P}{\partial y}$ і $\frac {\partial Q}{\partial x}$ в цій області. Тоді справджується формула Гріна

$\iint_D \left ( \frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y} \right ) = \oint_L P dx + Q dy \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

Нехай область $D = {y_1(x) \le y \le y_2(x), \qquad a \le x \le b}$ обмежена додатно орієнтованим контуром L – межею деякою області MPNQM (мал. внизу). Покажемо, що

$\iint_D \frac {\partial P}{\partial y} dx dy = - \oint_L P dx \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Для цього зведемо подвійний інтеграл до повторного, виконаємо інтегрування по змінній у і до знайдених визначених інтегралів застосуємо формулу обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду:

$\iint_D \frac {\partial P}{\partial y} dx dy = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \frac {\partial P}{\partial x} dy = \int_a^b P(x,y) \Big | \stackrel{y_2(x)}{y_1(x)} dx = \int_a^b [P(x, y_2(x)) - P(x, y_1(x)) ]dx =$

$= \int_a^b P(x, y_2(x)) dx - P(x, y_1(x)) dx = \int_{MPN} P(x,y) dx - \int_{NQM} P(x,y) dx = - \oint_L P dx \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

Аналогічно, вважаючи, що область D правильна в напрямку осі Ох: $D = {x_1(y) \le x \le x_2(y), \qquad c \le y \le d}$, можна впевнитися, що

$\iint_D \frac {\partial Q}{\partial x} dx dy = - \oint_L Q dy \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Якщо від рівності (4) відняти рівність (3), отримаємо (1)