Жорданова нормальна форма

Ця стаття буде корисна для студентів природничого факультету.

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Нехай матриця $\mathit{A}\,$ має розмірність $m\times n$. Характеристичне рівняння матриці А над полем комплексних чисел за основною теоремою алгебри має $n\,$ коренів(які можуть бути однаковими). Якщо всі корені різні, то матриця може бути зведена до діагонального виду перетвореннями подібності. Якщо є однакові, то зведення до діагонального виду перетвореннями подібності може бути неможливим. В цьому випадку матриця $\mathit{A}\,$зводиться до так званої жорданової форми.

Визначення Жорданової форми

Позначимо через $\mathit{K}\,$ поле комплексних чисел $\mathbb{C}$, хоча всі результати справедливі над довільним алгебраїчно замкненим полем нульової характеристики.

Означення:

Для $\mathit{k}\mathcal{2}\mathit{N}$ та $\lambda\mathcal{2}\mathbb{C}$, клітиною Жордана $\mathit{J}_{k}(\lambda)\,$ми називатимемо елемент з $\mathit{Mat}_{k\times k}(\mathit{K})$, що має наступний вигляд: $\mathit{J}_{k}(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \\ \end{pmatrix}$

Загальний вигляд Жорданової форми матриці виглядає так:
$\mathit{J}_{k}(\lambda) = \begin{pmatrix} \mathit{J}_{1}(\lambda) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathit{J}_{2}(\lambda) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{J}_{k-1}(\lambda) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{J}_{k}(\lambda) \\ \end{pmatrix}$

Означення:

Кореневим підпростором матриці $\mathit{A}\,$, що відповідає власному числу $\lambda\,$, називається множина всіх тих векторів $\mathit{v}\,$ з $\mathit{K}^{n}\,$, для яких $(\mathit{A}-\lambda\mathit{E})^{n}\cdot\mathit{v}=0$.

Основна властивість Жорданової нормальної форми (ЖНФ) матриці записується наступною теоремою Жордана:

Теорема:

Для довільної матриці $\mathit{A}\mathcal{2}\mathit{Mat}_{n\times n}(\mathit{K})$існує невироджена матриця $\mathit{S}\mathcal{2}\mathit{Mat}_{n\times n}(\mathit{K})$ така, що матриця $\mathit{A}_{j}=S^{-1}AS\,$ є прямою сумою клітин Жордана (тобто є блочно-діагональною матрицею з клітинами Жордана по діагоналі), причому матриця $B\,$визначена однозначно, з точністю до перестановки клітин Жордана, з яких вона складається

Алгоритми розв′язання основних типів задач

Знаходженя ЖНФ матриці

Для знаходження ЖНФ необхідно:

• Обчислити характеристичний многочлен матриці, знайти всі власні числа та їхні кратності
• Для кожного власного числа $\lambda\,$ матриці знайти кількість $S_i(\lambda)\,$ клітин Жордана $\mathit{J}_i(\lambda)\,$ , що входять до ЖНФ матриці $A\,$. Для цього потрібно обчислювати числа $r_0(\lambda)=n,\,$$r_1(\lambda)=rank(A-\lambda E),\ldots,r_i(\lambda)=rank(A-\lambda E)^i\,$ доти , доки для деякого $i\,$ не виконається рівність $r_i(\lambda)=r_{i+1}(\lambda)\,$. Після цього необхідно скористатись формулою $s_i(\lambda)=r_{i-1}(\lambda)-2r_i(\lambda)+r_{i+1}(\lambda)\,$.
• Побудувати ЖНФ матриці $A\,$ як блочно-діагональну матрицю, діагональ якої складають клітини Жордана $\mathit{J}_k(\lambda)\,$, де $\lambda\,$ пробігає всі власні числа матриці $A\,$, і кожна з клітин $\mathit{J}_k(\lambda)\,$ зустрічається рівно $\mathit{S}_k(\lambda)\,$.

Варто зауважити, що в результуючій матриці , що є ЖНФ матриці $A\,$, для будь-якого власного числа $\lambda\,$ матриці $A\,$, кількість його входжень в діагональ повинна дорівнювати кратності цього власного числа.

Знаходження ланцюжкового базису кореневого підпростору матриці $A\,$, що відповідає власному числу $\lambda\,$

Необхідно:

• знайти кількість $\mathit{S}_i(\lambda)\,$ ланцюжків довжини $i\,$, що входять до шуканого базису. Для цього потрібно шукати значення чисел $r_0(\lambda)=n,\,$$r_1(\lambda)=rank(A-\lambda E),\,$$\ldots,r_i(\lambda)=rank(A-\lambda E)^i\,$і доти, доки для деякого $i\,$ не буде виконуватись рівність $r_i(\lambda)=r_{i+1}(\lambda)\,$. Після цього необхідно скористатись формулою $s_i(\lambda)=r_{i-1}(\lambda)-2r_i(\lambda)+r_{i+1}(\lambda)\,$.
• зафіксувати те найменше $i^*\,$, для якого $r_{i^*}(\lambda)=r_{i^*+1}(\lambda)\,$
• знайти базис ядра матриці $(A-\lambda E)^{i^*}\,$, розвязавши однорідну СЛР (систему лінійних рівнянь), матрицею якої є матриця $(A-\lambda E)^{i^*}\,$
• для кожного отриманого базисного вектора побудувати ланцюжок $v_i=(A-\lambda E)^{i}v\,$
• вибрати $\mathit{S}_{i^*}(\lambda)\,$ ланцюжків найбільшої довжини , які складаються з лінійно незалежних елементів. Це буде частина шуканого базису.
• проробити аналогічні дії для наступного (за спаданням) $i\,$, для якого $\mathit{S}_i(\lambda)\ne 0\,$; при цьому потрібно слідкувати за тим, щоб підібрані вектори були лінійно незалежними від обраних раніше.
• продовжувати таким чином , поки не будуть вибрані всі ланцюжки.

Посилання

• Методичний посібник до теми Жорданова нормальна форма КНУ ім. Т. Шевченка