Диференціальні рівняння:Іспит

Матеріал з USIC Wiki

Перейти до: навігація, пошук

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Портал:Інформаційні науки

Диференціальні рівняння:Колоквіум

Зміст

1 Визначення
2 Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку, її геометричний і фізичний зміст. Достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші.
3 Диференціальні рівняння в повних диференціалах, теорема про небхідні і достатні умови для того, щоб рівняння було рівнянням в повних диференціалах.
4 Теорема про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
5 Методи відшукання часткового розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. Метод варіаціії довільних сталих.
6 Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами. Методи розв’язування таких рівнянь.
7 Задача Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку. Достатня умова існування та єдиності розв'язку.
8 Методи інтегрування лінійних однорідних систем диференціальних рівнянь. Теорема про структуру загального розв’язку лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь у випадку, коли корені характеристичного рівняння дійсні і різні.
9 Звичайне диференціальне рівняння першого порядку, розв'язане відносно похідної. Означення розв'язку, загального розв'язку. Особливі розв’язки.
10 Основні типи диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються в квадратурах.
11 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку, методи розв’язання.
12 Метод ломаних Ейлера наближеного інтегрування задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку.
13 Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають зниження порядку.
14 Системи лінійних диференціальних рівнянь. Зведення системи до рівняння вищого порядку (метод виключення) на прикладі системи двох рівняннь першого порядку.
15 Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь і методи їх розв’язування.
16 Функції від матриць. Матрична експонента, її властивості, методи знаходження.
17 Поняття про стійкість розв’язків диференціальних рівнянь.

Визначення

1.Рівняння вигляду F(x,y,y`,...,y^(n))=0, де x-змінна, y=y(x), називається звичайним диференційним рівнянням. При чому F - відома, f(x) - невідома.

2.Розв`язком диференційного рівнняня є функція(або принаймні відображення) y=fi(x), яка є n-раз диференційовною і після підстановки якої у рівняння отримаємо тотожність.

3.Порядком диференційного рівняння називаєтьсчя порядок найвищої похідної, яка входить у рівняння.

4.Загальним інтегралом диференційного рівняння першого порядку називається його розв`язок заданий в неявному вигляді, тобто fi(x,y)=c, де с - довільна константа.

5.Графік розв`язку диференційного рівняння y=fi(x) називається інтегральною кривою.

6.Диференційне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв`язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.

Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку, її геометричний і фізичний зміст. Достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші.

Розглядаємо диференційні рівняння першого порядку. Загальний вигляд: F(x, y, y') = 0, y' = f(x,y).

Задачею Коші для рівняння F(x, y, y') = 0 називається задача знаходження розв'язку цього рівняння при заданих початкових умовах: $y (x 0) = y 0$ .

Теорема Коші про існування і єдиність розв'язку задачі Коші. Нехай y' = f(x, y) - деяке диференційне рівняння першого порядку, і f(x, y) є неперервною в деякій відкритій області G, і похідна також є неперервною на G. Тоді $\forall (x_0,y_0) \in G$ розв'язок задачі Коші існує і він єдиний у цій області.

Теорема Пікара про інснування і єдиність розв'язку задачі Коші. Нехай y' = f(x,y) - деяке диференційне рівняння першого порядку, і f(x, y) є неперервною в деякому прямокутнику $\Pi = \{(x, y)| |x - x_0| \le a, |y-y_0| \le b \}, (x_0,y_0)$ - центр, і ця функція задовольняє умові Ліпшеца по y, тобто $\exists L > 0 : \ \forall (x,y_1), (x,y_2) \in \Pi | f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le L^* |y_1-y_2|$ , тоді існує і єдина $y = \varphi(x)$ , яка і є розв'язком задачі Коші. Цей розв`язок визначений і неперервно диференційовний на відрізку $[x 0 - h; x 0 + h]$ , де $h = \min(a; \frac b M), \ M = \max_{\Pi}(f(x,y))$ .

Наслідок. Якщо f(x, y) i f'(x, y) неперервні в деякій відкритій області D, тоді $\forall (x, y) \in D$ існує і єдиний розв'язок $y = \varphi(x)$ диференційного рівняння, що задовольняє початковій умові задачі Коші.

Точки, в яких порушуються умови існування та єдиності, називають особливими.

Розв'язок, у кожній точці якого порушується умова єдиності, називають особливим розв'язком. F(х,у,С) = 0 – однопараметричне сімейство кривих. Геометричний зміст задачі Коші полягає в тому, що з однопараметричного сімейства кривих, виділяється та, яка проходить через точку $(x 0, y 0)$ . Обвідною однопараметричного сімейства кривих називається лінія, яка в кожній своїй точці дотикається до однієї з кривих і в різних точках дотикається до різних кривих.

Особлива інтегральна крива є обвідною сімейства інтегральних кривих диференційного рівняння, визначеного загальним розв'язком.

Диференціальні рівняння в повних диференціалах, теорема про небхідні і достатні умови для того, щоб рівняння було рівнянням в повних диференціалах.

Рівняння виду

$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції u(x, y), тобто

$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) = \frac {\partial u}{\partial x} dx + \frac {\partial u}{\partial y} dy \qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)$

У цьому випадку загальний інтеграл рівняння (1) має вигляд u(x, y) = C, де C - довільна стала. Для того, щоб рівняння (1) було рівнянням у повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб

$\frac {\partial P(x,y)}{\partial y} = \frac {\partial Q(x,y)}{\partial x} \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Доведення.

Необхідність. Нехай наше диференціальне рівняння є рівнянням у повних диференціалах $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = dU = \frac {\partial U}{\partial x} dx + \frac {\partial U}{\partial y} dy$ . Звідси $\frac {\partial U}{\partial x} dx = P(x,y), \ \frac {\partial U}{\partial y} = Q(x,y)$ або $\frac {\partial U}{\partial x} = P(x,y), \ \frac {\partial U}{\partial y} = Q(x,y) \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

А це означає, що виконується (2).

Достатність. Нехай умова (2) виконується. Покажемо, що існує U(x,y), яка задовольняє диференціальне рівняння (1.1) або ж (3). Розглянемо перше рівняння з системи (3)

$\frac {\partial U(x, y)}{\partial x} = P(x,y) \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Рівняння (4) задовольняє функція

$U(x, y) = \int_{x_0}^x P(x,y)dx + \varphi(y)$ , де $\varphi(y)$ - довільна функція, яку виберемо так, щоб виконувалося друге рівняння системи (3).

$\frac {\partial U}{\partial y} = \frac d {dy} \int_{x_0}^x P(x,y)dx + \varphi'(y)= Q(x,y)$

Останнє співвідношення запишемо таким чином: $\int_{x_0}^x \frac {\partial P(x,y)}{\partial y}dx + \varphi'(y) = Q(x,y)$ .

Використавши (2), отримаємо $\int_{x_0}^x \frac {\partial Q(x,y)}{\partial y}dx + \varphi'(y) = Q(x,y) \Big |_{x_0}^x + \varphi'(y) = Q(x, y) - Q(x_0, y) + \varphi'(y) = Q(x,y), \ \varphi'(y) = Q(x_0,y)$ .

Отже, $\varphi(y) = \int_{y_0}^y Q(x_0, y)dy + c_1,\ U(x, y) = \int_{x_0}^x P(x,y)dx + \int_{y_0}^y Q(x_0,y)dy + c_1$ .

Теорему доведено.

Теорема про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Розглянемо тепер неоднорідне лінійне рівняння другого порядку

  y`` + a1(x)y` + a2(x)y=f(x),(1)

Загальним розв`язком рівняння є сума його довільного частинного розв`язку і загального розв`язку відповідного однорідного рівняння.

Нехай у*(х) - частинний розв`язок рівняння (1), а у**(х)= С1У1(х) + С2у2(х) - загальний розв`язок рівняння.

Переконаємось, що функція у(х) = у*(х)+у**(х) (2) - розв`язок рівняння (1). Підставляючи функцію (2) в рівняння (1), дістанемо У*``(х) + у**``(x) + а1(х)(у*`(х) + у**`(х)) + а2(х)(у*(х)+у**(х))= = {У*``(х) + а1(х)у*`(х) + а2(х)у*(х)} + [у**``(х) + а1(х)у**`(х) + а2(х)у**(х)] = f(x).

Оскільки вираз у квадратних дужках дорівнює нулю, а у фігурних - функції f(х), то функція (2) є розв`язком рівняння (1).

Методи відшукання часткового розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. Метод варіаціії довільних сталих.

Методи: варіації довільних сталих, Коші, невизначених коефіціентів(для диф. р-нь зі сталими коефіціентами).

МЕТОД КОШІ.

a0*y^(n) + a1*y^(n-1) + ... + a_(n-1)*y' + an*y = f(x).

Нехай y=K(x,s)- розв'язок однорідного диференціального рівняння, що задовольняє умовам K(s,s) = K'_x(s, s) = ... = (K^(n-2))_x(s,s) = 0; (K^(n-1))_x(s,s) = 1. Тоді якщо функція f, неперервна на сегменті [a,b] і x0 є [a,b], то y(x) = integr(x0,x) (K(x,s)*f(s)ds) - частковий розв"язок неоднорідного рівняння.

Наприклад. y + w^2*y = 1/(x+1); y(1)=2; y'(1)=-3. Загальний розв"язок рівняння y + w^2*y = 0: y= C1*sin(wx) + C2*cos(wx). Отже, K(x, s) = C1(s)*sin(wx) + C2(s)*cos(wx), причому K(s, s) = 0, K'_x(s, s)=1. Звідси: C1(s)*sin(ws) + C2(s)*cos(ws) = 0; C1(s)*cos(ws) + C2(s)*sin(ws) = 1/w. З такої системи: C1(s) = cos(ws)/w; C2(s) = -sin(ws)/w. Тоді K(x, s) = (1/w)* sin(w*(x-s)). f(x) = 1/(xc+1) неперервна при x!=-1, тому справедлива формула y(x) = (1/w) * integr(x0, x) (sin(w*(x-s))/(s+1))ds.

МЕТОД ВАРІАЦІЇ ДОВІЛЬНИХ СТАЛИХ.

Застосовний, якщо f - неперервна на сегменті ф-ція.

Нехай побудовано загальний розв"язок лінійного рівняння y(x) = Сума(k=1..n) (Ck*yk). Тоді для пошуку частковго розв"язку неоднорідного рівняння виконують такі дії:

1. припускають, що Ck = Ck(x) - диференційовні функції.
2. Частковий розв"язок шукають у вигляді y^~(x) = Сума(k=1..n) (Ck(x)*yk).
3. Функції C'_k(x) визначають із системи алгебраїчних рівнянь Сума(k=1..n) (C'_k(x)*(y^(l))_k) = (f(x)/a0)*d_(n-1, l), l = 0..n-1, d_(n-1, l) - символ Кронекера. d_(i, j) = 1, коли i=j і 0, коли i!=j.
4. Отримавши розв"язки такої системи, а саме C'_k(x) = fi_k(x), інтегрують ці рівняння:

C_k(x) = integr (fi(x)dx) + ak, де ak - сталі.

5. Отримані результати підставляють в щагальний вигляд часткового розв"язку:

y^~(x) = Сума(k=1..n) (yk * (integr (fi(x)dx) + ak)).

Ця формула визначає також загальний розв"язок неоднорідного рівняння.

Приклад. y - 2y' + y = (e^x)/x. Знайшли загальний розв"язок однорідного рівняння: y = C1*e^x + C2*x*e^x.

Покладемо C1 = C1(x), C2 = C2(x).

Запишемо систему рівнянь: C1'(x)*e^x + C2'(x)*x*e^x = 0; C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = (e^x)/x.

Звідси C1'(x) = -1; C2'(x) = 1/x. Інтегруючи отримані рівняння, маємо C1(x) = -x + C1, C2(x) = ln|x| + C2, де C1, C2 - нові довільні константи.

Підставимо отримані результати у загальний вигляд часткового розв"язку: y = C1*e^x + C2*x*e^x - x*e^x + x*e^x*ln|x|.

МЕТОД НЕВИЗНАЧЕНИХ КОЕФІЦІЄНТІВ.

Якщо права частина рівняння має вигляд f(x) = P_m(x)*e^(j*x), де P_m(x) - многочлен степеня m, то частковий розв"язок рівняння буде таким: y^~ = x^s * Q_m(x)*e^(j*x), де s = 0, якщо j не збігається з жодним коренем характеристичного рівняння; s рівне кратності l кореня характеристичного рівняння, якщо j з ним збігається. Q_m(x) - многочлен степеня m.

Для визначення коефіцієнтів многочлена Q_m(x) варто формулу часткового розв"язку підставити в рівняння і прирівняти вирази при однакових функціях.

Якщо f(x) = f1(x) + f2(x) +...+ fp(x), то часткове рішення складається із суми часткових рішень yi~ неоднорідних рівнянь a0*y^(n) + a1*y^(n-1) + ... + a_(n-1)*y' + an*y = fi(x), i = 1..p.

Приклад. y + 2*y' - 3*y = e^4x. Характеристичне рівняння: l^2 - 2*l - 3 =0. l1 = -1; l2 = -3.

Знаходимо загальний розв"язок однорідного рівняння: y = C1*e^-x + C2*e^3x. Оскільки права частина рівняння f(x) = e^4x і число j=4 не збігається з жодним коренем характеристичного рівняння, частковий розв"язок матиме вигляд y~ = Q0(x)*e^4x = a0*e^4x, де а0 - поки що невідома стала.

Пілставимо цей результат у вихідне рівняння: 5*a0*e^4x = e^4x. a0 = 1/5. отже, y~ = (1/5)*e^4x.

Загальний розв"язок неоднорідного = загальний розв"язок однорідного + частковий неоднорідного.

Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами. Методи розв’язування таких рівнянь.

Лінійні однорідні рівняння із сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.

Розглянемо р-ння:

y^n+p1y^(n-1)+p2y^(n-2)+...+p(n-1)y`+p(n)y=0 (1) де pi,i=1,2...n - дійсні числа.

Метод Ейлера полягає у наступному: частинні розвязки шукатимуться у вигляді

y=e^kx (2)

де k -стала(дійсна чи комплексна), яку треба знайти.

Підставивши (2) в (1), і враховуючи, що e^k<>0 отримаємо:

k^n +p1k^(n-1)+....+p(n-1)k+pn=0 (3)

Отже, якщо k розвязок р-ння (3), то ф-ція (2) буде розвязком р-ння (1). Квадратне р-ння (3) наз характеристичним р-ням.

Аналогічні міркування справджуються і для рівнянь вищих порядків.

1. Знаходимо відповідне характеристичне р-ння.
2. Знаходимо частинні розвязки, що відповідають кореням характеристичного р-ння, причому:
а)кожен з дійсних і різних k дає e^kx
б)кожна окрема пара комплексних спряжених коренів (а +- /3 і) дає два частинних розвязки (е^ax cos /3x) i (е^ax sin /3x)
в)кожен m-кратний корінь , дає m частинних розвязків, що можна дістати множенням а) і б) на 1,x,x^2...,x^m-1
3. Множення кожного з цих розвязків на довільну сталу та додавання результатів.

Задача Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку. Достатня умова існування та єдиності розв'язку.

Система вигляду:

 y'_1=f_1(x,y_1,y_2,...,y_n),|
 y'_2=f_2(x,y_1,y_2,...,y_n),|
 ...			    } (1)
 ...			    |
 y'_n=f_n(x,y_1,y_2,...,y_n),|

називається нормальною системою диференціальних рів-нь.

При цьому, число рівнянь у системі дорівнює числу невідомих функцій.

Розв"язком системи (1) називається сукупність із n фун-цій y_1,y_2,...,y_n, що задовольняюсь усім рівнянням системи.

Частинним розв"язком системи називається розв"язок, що задовольняє такою початковим умовам:

y_1=y_10, y_2=y_20,..., y_n=y_n0 при x=x_0, (2)

x_0,y_10,y_20,...,y_n0 - задані числа.

Замінивши числа y_10,y_20,...,y_n0 на довільні сталі С_1, С_2, ..., С_n одержимо загальний розв"язок сис-ми (1).

Задачу знаходження частинного розв"язку сис-ми, який би задовольняв заданим початковим умовам наз задачею Коші.

Справедлива теорема існування і єдиності роз"язку, яку вперше сформулював Коші:

Нехай дана сис-ма диф рів-нь (1) та сис-ма початкових умов (2).

Якщо фун-ції f_1(x,y_1,y_2,...,y_n), ..., f_n(x,y_1,y_2,...,y_n) неперервні у околі початкових умов, і мають неперервні частинні похідні по всім аргументам, то існує, і притому єдине рішення сис-ми (1), визначене і неперервне на деякому інтревалі, що містить x_0 та задовольняє системі початкових умов.

Методи інтегрування лінійних однорідних систем диференціальних рівнянь. Теорема про структуру загального розв’язку лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь у випадку, коли корені характеристичного рівняння дійсні і різні.

Нормальна система диф рів-нь називається лінійною, якщо фун-ції f_1, f_2, ..., f_n - лінійні відносно шуканих фун-цій:

 y'_1=a_11y_1 + a_12y_2 + a_1ny_n + b_1 |
 y'_2=a_21y_1 + a_22y_2 + a_2ny_n + b_2 |
 ...				       } (1)
 ...				       |
 y'_n=a_n1y_1 + a_n2y_2 + a_nny_n + b_n |

причому усі коефіцієнти а_іk і вільні члени b_k, i,k - натуральні числа, є довільними фун-ціями від х.

Розглянемо однорідну сис-му лін диф рів-нь із сталими коефіцієнтами а_іk і вільними членами b_k=0. Для наглядності припустимо, що у сис-мі є три рів-ня.

Частинний розв"язок системи будемо шукати у вигляді:

y_1=k_1e^(rx), y_2=k_2e^(rx), y_3=k_3e^(rx), (2)

де k_1, k_2, k_3, r - сталі, які слід підібрати так, щоб фун-ції (2) задовольняли сис-мі (1). Підставимо вирази (2) для шуканих

фун-цій у систему (1), після скорочення одержимо:

(a_11-r)k_1 + a_12k_2 + a_13k_3 = 0;
a_21k_1 + (a_22-r)k_2 + a_23k_3 = 0; (3)
a_31k_1 + a_32k_2 + (a_33-r)k_3 = 0.

Сис-му (3) можна розглядати як однорідну сис-му трьох алгебраічних рів-нь з трьома невідомими k_1, k_2, k_3. Щоб система мала відмінний від нуля розв"язок необхідно і достатньо рівності нулю визначника цієї системи. Ця умова дає:

 |(a_11-r)   a_12       a_13     |
 |a_21       (a_22-r)   a_23     |= 0 (4)
 |a_31       a_32       (a_33-r) |

Рів-ня (4) наз характреристичним рів-ням системи (1). У випадку коли корені дійсні і різні при значеннях r, рівних цим кореням, існує хоча б один визначник другого порядку відмінний від нуля.

В цьому випадку кожному із коренів r1, r2, r3 характеристичного рів-ня (4) відповідає розв"язок (2), коефіцієнти якого визначаються із відповідної сис-ми (3) з точністю до множника пропорційності.

Лінійна комбінація всіх частинних розв"язків з довільними сталими коеф дає загальне рішення.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку, розв'язане відносно похідної. Означення розв'язку, загального розв'язку. Особливі розв’язки.

Рівняння вигляду $F(x, y, y', \dots, y^(n)) = 0$ , де x-змінна, y = y(x), називається звичайним диференційним рівнянням. Причому F - відома, f(x) - невідома.

Розв'язком диференційного рівнняня є функція (або принаймні відображення) $y=\varphi(x)$ , яка є n раз диференційовною і після підстановки якої у рівняння отримаємо тотожність.

Порядком диференційного рівняння називається порядок найвищої похідної, яка входить у рівняння.

Загальним інтегралом диференційного рівняння першого порядку називається його розв'язок, заданий в неявному вигляді, тобто $\varphi(x,y) = c$ , де с - довільна константа.

Основні типи диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються в квадратурах.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку, методи розв’язання.

Метод ломаних Ейлера наближеного інтегрування задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку.

Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають зниження порядку.

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Зведення системи до рівняння вищого порядку (метод виключення) на прикладі системи двох рівняннь першого порядку.

Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь і методи їх розв’язування.

Функції від матриць. Матрична експонента, її властивості, методи знаходження.

Поняття про стійкість розв’язків диференціальних рівнянь.