Байєсівське рішення

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Розглядається задача рішення з простором параметрів Ω, простором рішень D і функцією втрат L.

Для певного розподілу Р параметру W, баєсівський ризик ρ*(P) – це точна нижня межа (інфінум) ризиків ρ (P,d) по всіх ризиках d.

ρ*(P)=inf_{d є D} ( ρ(P,d) ).

Кожне рішення, ризик якого рівний баєсівському ризику називається баєсівським рішенням при розподілі Р. тобто, ρ(P,d*) = ρ*(P) => d* -- баєсівське.

Виявляється, можлива ситуація, коли немає баєсівського рішення – таке можливо тільки тоді, коли нижня грань за формулою баєсівської границі не досягається ні при одному d є D.

Приклад

Ω={0,1}, D=[0,1], L(ω,d)=| ω - d| ^α. α є N. наприклад, α=1. P: Pr(W=0) = 0,75 Pr(W=1)=0,25.

А байєсівський ризик обчислюється за формулою:

ρ(P,d)= L(0,d)*Pr(W=0)+L(1,d)*Pr(W=1).

Тобто, в нашому випадку:

ρ(P,d)=0,75*d+0,25*(1-d)=0,5d+0,25. З цього видно, що мінімізуються (досягається інфінум) при d=0. і тоді зрозуміло, що d=0 – єдине баєсівське рішення, а баєсівський ризик при розподілі P – 0,25.

Та, якщо раптом задача була б така ж, але D=(0,1], то баєсівський ризик все одно був би 0,25 , але ні одне рішення не буде баєсівським.