Аналіз функцій багатьох змінних:Іспит

Матеріал з USIC Wiki

Перейти до: навігація, пошук

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Портал:Інформаційні науки

Аналіз функцій багатьох змінних:Колоквіум

Зміст

1 Похідні за напрямком та частинні похідні функцій багатьох змінних. Градієнт функції багатьох змінних та формула визначення похідної за напрямком через градієнт.
2 Дотична площина та нормаль до гладкої поверхні.
3 Формула Тейлора розвинення функції багатьох змінних в околі заданої точки.
4 Локальний екстремум функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму
5 Найбільше та найменше значення функції в області.
6 Подвійний інтеграл. Означення, фізичний та механічний зміст.
7 Теорема Фубіні про обчислення подвійного інтегралу.
8 Формула заміни змінних у подвійному інтегралі. Якобіан. Полярні координати.
9 Означення потрійного інтегралу. Теорема Фубіні про зведення потрійного інтегралу до повторних.
10 Криволінійні інтеграли 1-го та 2-го роду та способи їх обчислення. Фізичний зміст.
11 Формула Гріна.
12 Поверхневі інтеграли 1-го роду та методи їх обчислення.
13 Поверхневі інтеграли 1-го роду та 2-го роду, фізичний зміст. Формула Остроградського-Гауса.
14 Поняття про m-вимірний простір Rm. Відстань між двома точками. Збіжність послідовності точок в Rm.
15 Достатні умови екстремуму функції двох змінних.
16 Диференційовні функції багатьох змінних. Достатні умови диференційовності.
17 Диференціал 1-го порядку. Застосування першого диференціалу для наближених обчислень.
18 Похідні від складених функцій багатьох змінних.
19 Обчислення похідних неявно заданих функцій.
20 Похідні вищих порядків. Теорема Шварца про достатні умови рівності змішаних похідних.
21 Диференціал другого порядку. Формула Тейлора розвинення функції в околі заданої точки.
22 Достатні умови екстремуму функції двох змінних.
23 Теорема Фубіні про зведення потрійного інтегралу до повторних.
24 Теорема про еквівалентність умов незалежності криволінійного інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування.

Похідні за напрямком та частинні похідні функцій багатьох змінних. Градієнт функції багатьох змінних та формула визначення похідної за напрямком через градієнт.

Похідна за напрямком - це узагальнений випадок поняття похідної у випадку функції багатьох змінних.

Похідна функції однієї змінної показує, як змінюється її значення при малій зміні аргументу. Для функції багатьох змінних зміна аргументу може відбуватися у різних напрямках, при цьому значення похідної можуть бути різними. Тому вводиться поняття похідної за напрямком.

Розглянемо функцію $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ від n аргументів у околі точки $\overrightarrow x^0 = (x_1^0, x_2^0, \dots, x_n^0)$ . Для будь-якого одиничного вектора $\overrightarrow e = (e_1, \dots, e_n)$ визначимо похідну функції f у точці $\overrightarrow x^0$ за напрямком вектора $\overrightarrow e$ наступним чином:

$D_{\overrightarrow e} f(\overrightarrow x) = \lim_{h \to 0 } \frac {f( \overrightarrow x^0 + h \cdot \overrightarrow e) - f (\overrightarrow x^0)}{ h }$

Значення цього виразу показує, наскільки швидко змінюється значення функції при зсуві аргументу в напрямку вектора $\overrightarrow e$ .

Частинні похідні

Нехай ф-ція z = f(x), визначена в деякому околі точки M(x,y). Надамо змінній х приросту $Δ x$ , залишаючи змінну у незмінною, так, щоб точка $M 1 (x + Δ x, y)$ належала заданому околу.

Величина $Δ x z = f (x + Δ x, y) - f (x, y)$ називається частинним приростом ф-ції f(x,y) по змінній х.

Аналочічно – по змінній у.

Якщо існує границя $\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x }$ , то вона називається частинною похідною функції f(x,y) в точці М(х,у) і позначається одним з таких символів: $z'_x, f'_x, \frac {\partial z} {\partial x}, \frac {\partial f} {\partial x}$

$f'_x(x_0, y_0), f'_{x|M_0}$ - частинні похідні по х в точці $M 0 (x 0, y 0)$ .

Аналогічно – по у.

Градієнт, формула визначення похідної за напрямком через градієнт.

Вектор, координатами якого є значення частинних похідних ф-ції $u (x, y, z)$ в точці $M (x; y; z)$ , називають градієнтом ф-ції в цій точці і позначають grad u. Отже, $grad u = \frac {\partial u}{\partial x} \overrightarrow i + \frac {\partial u}{\partial y} \overrightarrow j + \frac {\partial u}{\partial z} \overrightarrow k$

Теорема. Похідна ф-ції $u (x, y, z)$ в точці $M (x; y; z)$ за напрямом вектора $\overrightarrow l$ дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на вектор $\overrightarrow l$ , тобто $\frac {\partial u}{\partial l} = pr_{\overrightarrow l} grad u$ .

Нехай $\varphi$ - кут між градієнтом і одиничним вектором $\overrightarrow l_0 = (\cos \alpha; \cos \beta; \cos \gamma)$ , дістанемо: $\frac {\partial u}{\partial l} = \frac {\partial u}{\partial x} \cos \alpha + \frac {\partial u}{\partial y} \cos \beta + \frac {\partial u}{\partial z} \cos \gamma = (grad u)\overrightarrow l_0 = |grad u | * |\overrightarrow l_0| \cos \varphi = |grad u| \cos \varphi = pr_{\overrightarrow l} grad u$

Дотична площина та нормаль до гладкої поверхні.

Дотична площина.

Нехай задано поверхню

$F(x,y,z) = 0 \qquad \qquad \qquad (1)$

Точка $M 0 (x 0; y 0; z 0)$ належить цій поверхні, і задана функція диференційовна в цій точці, причому не всі частинні похідні в цій точці рівні 0.

Розглянемо довільну криву L, яка проходить через $M 0$ , лежить на поверхні (1) і задається рівнянням

$x = x (t); y = y (t); z = z (t)$ ,

де точці $M 0$ відповідає параметр $t 0$ .

Оскільки крива лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють (1):

$F(x(t), y(t), z(t)) = 0 \qquad \qquad \qquad (2)$

Диференціюючи (2), маємо:

$\frac {\partial F}{\partial t} = \frac {\partial F}{\partial x} \cdot \frac {\partial x}{\partial t} + \frac {\partial F}{\partial y} \cdot \frac {\partial y}{\partial t} + \frac {\partial F}{\partial z} \cdot \frac {\partial z}{\partial t} = 0 \qquad \qquad \qquad (3)$

Ця рівність показує, що вектори

$\overrightarrow n = (F'_x(M_0), F'_y(M_0), F'_z(M_0)), \overrightarrow s = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$ ортогональні, причому другий - напрямний вектор дотичної до кривої L у точці $M 0$ .

Крім того, з (3) випливає, що дотичні до всіх кривих, які проходять через точку $M 0$ ортогональні до одного і того ж вектора $\overrightarrow n$ . Тоді всі ці дотичні лежать в одній площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці $M 0$ .

Знайдемо її рівняння. Оскільки ця площина проходить через точку $M 0$ перпендикулярно до вектора $\overrightarrow n$ , то її рівняння має вигляд:

$F'_x(M_0) (x - x_0) + F'_y(M_0) (y - y_0) + F'_z(M_0) (z - z_0) = 0 \qquad \qquad \qquad (4)$

Нормаль.

Нормаллю до поверхні в точці $M 0$ називають пряму, що проходить через точку $M 0$ перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.

Оскільки нормаль проходить через точку $M 0$ і має напрямний вектор $\overrightarrow n$ , то канонічні рівняння нормалі мають такий вигляд:

$\frac {x - x_0} {F'_x(M_0)} = \frac {y - y_0}{ F'_y(M_0)} = \frac {z - z_0} {F'_z(M_0)} \qquad \qquad \qquad (5)$

Формула Тейлора розвинення функції багатьох змінних в околі заданої точки.

Якщо ф-ція 1-ї змінної F(t) має на відрізку $[α,β]$ непервні похідні до (n+1) порядку включно, то справджується формула Тейлора, яку можна записати в такому вигляді:

$\Delta F (t_0) = dF(t_0) + \frac {d^2 F(t_0)}{2!} + \dots + \frac {d^n F(t_0)}{n!} + \frac {d^{n+1} F(t_0 + \theta \Delta t) }{(n+1)!}, \qquad 0 < \theta < 1 \qquad \qquad \qquad \qquad(1)$

Нехай z = f(x, y) в області D має непервні частинні похідні до n+1 порядку включно. Візьмемо 2 точки $M 0 (x 0; y 0; z 0)$ і $M 1 (x 0 + Δ x; y 0 + Δ y; z 0 + Δ z)$ такі, що відрізок $M 0 M 1$ належить області D.

Введемо змінну t:

$x = x_0 + t \Delta x; y = y_0 + t \Delta y; \qquad 0 < t < 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Тоді точка $M 0 (x 0 + t Δ x; y 0 + t Δ y)$ опише весь відрізок $M 0 M 1$ . Тоді вздовж цього відрізка функція буде функцією від 1 змінної t.

$f(x, y) = f (x_0 + t \Delta x, y_0 + t \Delta y) = F(t) \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

Запишемо формулу (1) для функції (3) при $t = 0,Δ t = 1$

$\Delta F(0) = dF(0) + \frac {d^2 F(0)}{2!} + \dots + \frac {d^n F(0)}{n!} + \frac {d^{n+1} F(\theta) }{(n+1)!} \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Обчислимо диференціали, що входять в (4). З (2) і (3) маємо:

$d F (t) = d f (x, y) = f' x (x, y) d x + f' y (x, y) d y = f' x (x, y)Δ x d t + f' y (x, y)Δ y d t$

Оскільки $d t = Δ t = 1$ , то

$dF(0) = f'_x (x, y) \Delta x + f'_y(x,y) \Delta y = df(x_0, y_0) \qquad \qquad \qquad \qquad (5)$

Аналогічно

$d^2 F(0) = d^2 f(x_0, y_0), \dots, d^n F(0) = d^n f(x_0, y_0), d^{n+1} F(\theta) = d^{n+1} f(x_0 + \theta \Delta x,y_0 + \theta \Delta y ) \qquad \qquad \qquad \qquad (6)$

Крім того, приріст

$\Delta F(0) = F(1) - F(0) = f(M_1) - f(M_0) = \Delta f(x_0, y_0) \qquad \qquad \qquad \qquad (7)$

Підставимо (4)-(7) у (2), маємо:

$\Delta f(x_0, y_0) = df(x_0, y_0) + \frac {d^2 f(x_0, y_0)}{2!} + \dots + \frac {d^n f(x_0, y_0)}{n!} + R_{n+1} \qquad \qquad \qquad \qquad (8)$ $R_{n+1} = \frac { d^{n+1} f(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y) }{(n+1)!} \qquad \qquad \qquad \qquad (9)$

Ф-лу (8) називають формулою Тейлора для ф-ції двох змінних з залишковим членом $R n + 1$ у формі Лагранжа.

Локальний екстремум функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму

Локальний екстремум

Нехай z= f(x,y) визначена в області D, а точка $M_0(x_0; y_0) \in D$ . Якщо існує окіл точки $M 0$ , який належить D і для усіх $M \ne M_0 : f(M) < f(M_0) (f(M) > f(M_0))$ , то точку $M 0$ називають точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x,y), а число $f (M 0)$ - локальним максимумом (мінімумом) цієї функції. Точки максимуму та мінімуму функції називаються її точками екстремуму (>, < - строгий, $\le, \ge$ - нестрогий).

Теорема(необхідні умови екстремуму). Якщо функція z= f(x,y) має в точці $(x 0; y 0)$ локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних х, у рівні 0 або не існують.

Теорема(достатні умови екстремуму). Нехай в стаціонарній точці $M 0 (x 0; y 0)$ і деякому її околі функція f(x,y) має неперевні частинні похідні другого порядку. Якщо $Δ(x 0, y 0) = f'' x x (x 0, y 0) f'' y y (x 0, y 0) + (f'' x y (x 0, y 0)) 2 > 0$ , то ф-ція f(x,y) в точці $M 0 (x 0; y 0)$ має екстремум, причому максимум при $f'' x y (x 0, y 0) < 0$ і мінімум при $f'' x y (x 0, y 0) > 0$ . Якщо $Δ(x 0, y 0) < 0$ , то в точці $M 0 (x 0; y 0)$ екстремуму немає, при $Δ(x 0, y 0) = 0$ потрібно досліджувати додатково.

Найбільше та найменше значення функції в області.

Відомо, що функція z=f(x,y) задана і неперервна в замкненій та обмеженій області D, досягає в цій області найбільшого і найменшого значень. У внутрішніх точках області диференційовна функція може набувати цих значень лише в точках локального екстремуму. Тому треба знайти всі стаціонарні точки, які належать області D, розв’язавши систему рівнянь $f'_x(x,y) = 0, \quad <f'_y(x,y) = 0$ і обчислити значення функції в цих точках. Потім потрібно дослідити функцію на екстремум на межі області D. Використовуючи рівняння межі, цю задачу зводять до знаходження абсолютного екстремуму функції однієї змінної. Серед здобутих таким чином значень функції всередині і на межі області вибирають найбільше і найменше значення.

Загального методу знаходження найбільшого і найменшого значень для довільної неперервної функції в замкненій області D немає.

Подвійний інтеграл. Означення, фізичний та механічний зміст.

z = f(x,y) визначена в замкненій обмеженій області $D \subset R_2$ . Вважатимемо, що межа області D складається із скінченного числа неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду y = f(x) або $x = \varphi (y)$ .

Розіб'ємо область D на n частин $D i$ , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких рівні $Δ S i$ , і=1, 2, ..., n. У кожній області $D i$ візьмемо довільну точку $P i (ξ i,η i)$ і утворимо суму

$I_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

яку назвемо інтегральною сумою для функції z=f(x,y) по області D.

Нехай $\lambda = \max_{1 \le i \le n } d(D_i)$ - найбільший з діаметрів областей $D i$ .

Якщо інтегральна сума (1) при $\lambda \rightarrow 0$ має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття областей $D i$ , ні від вибору точок $P i (ξ i,η i)$ , то ця границя називається подвійним інтегралом і позначається $\iint_D f(x,y) dS$ або $\iint_D f(x,y) dx dy$ .

Геометрична інтерпретація:

$\iint_D f(x,y) dx dy$ - об’єм тіла, твірні якого паралельні осі Oz, і яке обмежене знизу областю D площини Oxy, а зверху – поверхнею z=f(x,y), де функція f(x,y) невід'ємна та неперервна на D.

Фізичний зміст:

$\iint_D f(x,y) dx dy$ - маса тіла пластини на площині Oxy, яка має форму обмеженої замкненої області D, в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією f(x,y).

Теорема Фубіні про обчислення подвійного інтегралу.

Припустимо, що область інтегрування D обмежена двома неперервними кривими $y = \varphi_1(x), y = \varphi_2(x)$ і двома прямими $x = a, x = b$ , причому $\varphi_1 (x) \le \varphi_2 (x) \quad \forall x \in (a;b)$ . Тоді

$\iint_D f(x,y)dx dy = \int_a^b ( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)dy)dx$ - теорема Фубіні про зведення подвійного інтегралу до повторного

Формула заміни змінних у подвійному інтегралі. Якобіан. Полярні координати.

$x = x(u,v), y = y(u,v) \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

$u = u(x,y), v = v(x,y) \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

$M(x,y) \in D, M^*(u,v) \in D^*$

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область D в замкнену обмежену область $D *$ і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області $D *$ неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від 0 визначник

$J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac {\partial x} {\partial u} & \frac {\partial x} {\partial v} \\ \\ \frac {\partial y} {\partial u} & \frac {\partial y} {\partial v} \end{vmatrix} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

а функція f(x,y) неперервна в області D, то справедлива така формула заміни змінних:

$\iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D^*} f(x(u,v),y(u,v)) |J(u,v)| du dv \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Функціональний визначник (3) називається якобіаном.

В полярних координатах:

$x = \rho \cos \varphi, y = \rho \sin \varphi.$

$J(\rho, \varphi) = \begin{vmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{vmatrix} = \rho$

$\iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D^*} f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) \rho d \rho d \varphi$

Означення потрійного інтегралу. Теорема Фубіні про зведення потрійного інтегралу до повторних.

Нехай функція u = f(x,y,z) визначена в обмеженій замкненій області $G \subset R_3$ . Розіб’ємо цю область сіткою поверхонь на n частин $G i$ , які не мають спільних внутрішніх точок і об’єми яких дорівнюють $\Delta V_i, i = 1,2, \dots, n$ . У кожній частині $G i$ візьмемо точку $P i (ξ i,η i,ζ i)$ і утворимо суму

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i \qquad \qquad\qquad \qquad (1)$

яка називається інтегральною сумою для функції f(x,y,z) по області G.

Нехай $\lambda = \max_{1 \le i \le n} d(G_i)$ - найбільший з діаметрів областей $G i$ .

Якщо інтегральна сума (1) при $\lambda \rightarrow 0$ має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області G на частини $G i$ , ні від вибору в них точок $P i (ξ i,η i,ζ i)$ , то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним з таких символів:

$\iiint_G f(x,y,z) dV$ або $\iiint_G f(x,y,z) dx dy dz\qquad \qquad\qquad \qquad (2)$

Теорема. (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція u = f(x,y,z) неперервна в обмеженій замкненій області G, то вона в цій області інтегровна.

Теорема Фубіні. $\iiint_G f(x,y,z) dx dy dz \iint_D( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y,z) dz)dx dy$

Криволінійні інтеграли 1-го та 2-го роду та способи їх обчислення. Фізичний зміст.

Нехай у площині Оху задана гладка чи кусково-гладка крива АВ і на цій кривій визначена функція f(x,y) (неперервна крива x = x(t), y = y(t) називається гладкою на відрізку, якщо функції x(t), y(t) мають на цьому відрізку неперервні похідні, які одночасно не дорівнюють 0. якщо неперервна крива складається із скінченного числа гладких кривих, то вона називається кусково-гладкою). Розіб’ємо криву АВ точками $A = A_0 = A_1 = \dots = A_n = B$ на n довільних частин, на кожній окремій дузі $A i - 1 A i$ виберемо точку $P i (ξ i,η i)$ і складемо суму

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta l_i \qquad \qquad \qquad \qquad (1), l_i$ - довжина і-ої дуги.

(1) – інтегральна сума для функції f(x,y) по кривій АВ. Нехай $\lambda = \max_{1 \le i \le n } \Delta l_i$ - найбільша з довжин окремих дуг.

Якщо при $\lambda \rightarrow 0$ інтегральні суми мають скінченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої АВ, ні від вибору точок, то цю границю називають криволінійним інтегралом 1-го роду (криволінійним інтегралом по довжині дуги) від функції f(x,y) по кривій АВ і позначають

∫	f(x,y)dl
AB

$\int_{AB} f(x,y) dl = \int_0^L f(x(l), y(l)) dl \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Обчислення.

Нехай АВ задана рівняннями $x = x(t), y = y(t), t \in [\alpha; \beta]$ , ці функції з похідними неперервні на $[α;β]$ , а f(x,y) неперервна вздовж АВ. Для довільної точки M(x(t), y(t)) довжину l кривої АМ можна розглядати як функцію параметра t: l = l(t) , тоді $l = \int_0^t \sqrt {(x'(\tau))^2 + (y'(\tau))^2} d \tau$ що таке тау??? -- oksamyt 23:48, 1 червень 2008 (EEST)

Звідси, згідно з правилом диференціювання визначеного інтеграла по верхній межі, маємо $\int_{AB} f(x,y) dl = \int_0^L f(x(l), y(l)) dl = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t)) \sqrt {x'^2(t) + y'^2(t)} dt \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

Інтеграл 2-го роду.

Умови ті самі, що і в інтегралі 1-го роду, на АВ визначена неперервна функція Р(х,у). Тут вважатимемо криву напрямною лінією, у якої точки А та В є відповідно початковою та кінцевою точками.

Інтегральні суми:

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i, \qquad \qquad \qquad \qquad (4), x_i$ - проекція вектора $A i - 1 A i$ на вісь Ох.

Якщо при $\lambda = \max_{1 \le i \le n } \Delta x_i \rightarrow 0$ інтегральні суми (4) мають скінченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої АВ, ні від вибору точок, то цю границю називають криволінійним інтегралом від функції Р(х,у) по координаті х вздовж кривої АВ. Позначення:

∫	P(x,y)dx
AB

Так само вводиться криволінійний інтеграл по координаті у.

Сума

∫	P(x,y)dx +	∫	Q(x,y)dy
AB		AB

називають криволінійним інтегралом 2-го роду від ф-цій P i Q по кривій АВ або криволінійним інтегралом по координатах.

Обчислення.

Нехай АВ задана параметричними р-нями $x = x(t), y = y(t), t \in [\alpha; \beta]$ , де функції x = x(t), y = y(t) та їх похідні неперервні на цьому проміжку, точці А відповідає параметр $α$ , точці В - $β$ . Припустимо, що Р(х,у) – неперервна на АВ, тоді

$\int P(x,y) dx = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i \qquad \qquad \qquad \qquad (5)$

Але згідно з формулою Лагранжа,

$\Delta x_i = x_i - x_{i-1} = x(t_i) - x(t_{i-1}) = x'(\tau_i)(t_i - t_{i-1}) = x'(\tau_i) \Delta t_i, \quad \tau_i \in [t_{i-1}, t_i]$

Виберемо точку $(ξ i,η i)$ так, щоб $\xi_i = x(\tau_i), \quad \eta_i = y(\tau_i)$ . Тоді інтегральна сума у (5) набуде вигляду:

$\sum_{i=1}^n P(x(\tau_i), y(\tau_i)) x'(\tau_i) \Delta t_i$

Тому $\int P_{AB}(x,y) dx = \int_\alpha^\beta P(x(t), y(t)) x'(t) dt \qquad \qquad \qquad \qquad (6)$

Аналогічно доводиться формула

$\int Q_{AB}(x,y) dy = \int_\alpha^\beta Q(x(t), y(t)) y'(t) dt \qquad \qquad \qquad \qquad (7)$

$\int P_{AB}(x,y) dx + \int Q_{AB}(x,y) dy = \int_\alpha^\beta [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt \qquad \qquad \qquad \qquad (8)$

Формула Гріна.

Формула Гріна пов’язує подвійний інтеграл по області D з криволінійним інтегралом по межі L цієї області.

Теорема. Нехай D – деяка правильна область, обмежена замкненим контуром L, і функції Р(х,у) і Q(x,y) неперервні разом зі своїми частинними похідними $\frac {\partial P}{\partial y}$ і $\frac {\partial Q}{\partial x}$ в цій області. Тоді справджується формула Гріна

$\iint_D \left ( \frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y} \right ) = \oint_L P dx + Q dy \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

Нехай область $D = {y_1(x) \le y \le y_2(x), \qquad a \le x \le b}$ обмежена додатно орієнтованим контуром L – межею деякою області MPNQM (мал. внизу). Покажемо, що

$\iint_D \frac {\partial P}{\partial y} dx dy = - \oint_L P dx \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Для цього зведемо подвійний інтеграл до повторного, виконаємо інтегрування по змінній у і до знайдених визначених інтегралів застосуємо формулу обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду:

$\iint_D \frac {\partial P}{\partial y} dx dy = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \frac {\partial P}{\partial x} dy = \int_a^b P(x,y) \Big | \stackrel{y_2(x)}{y_1(x)} dx = \int_a^b [P(x, y_2(x)) - P(x, y_1(x)) ]dx =$

$= \int_a^b P(x, y_2(x)) dx - P(x, y_1(x)) dx = \int_{MPN} P(x,y) dx - \int_{NQM} P(x,y) dx = - \oint_L P dx \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

Аналогічно, вважаючи, що область D правильна в напрямку осі Ох: $D = {x_1(y) \le x \le x_2(y), \qquad c \le y \le d}$ , можна впевнитися, що

$\iint_D \frac {\partial Q}{\partial x} dx dy = - \oint_L Q dy \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Якщо від рівності (4) відняти рівність (3), отримаємо (1)

Поверхневі інтеграли 1-го роду та методи їх обчислення.

Поверхневі інтеграли 1-го роду – узагальнення подвійних інтегралів.

Нехай в точках деякої кусково-гладкої поверхні $σ$ визначена обмежена функція f(M) = f(x,y,z). Розіб'ємо цю поверхню на n довільних частин $σ i$ без внутрішніх спільних точок; нехай $Δσ i$ - площа, а $d i a m (σ i)$ - діаметр частини поверхні $σ i$ . У кожній частині поверхні виберемо довільні точки $P i (ξ i,η i,ζ i)$ і складемо суму:

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta \sigma_i \qquad \qquad\qquad \qquad (1)$ - інтегральна сума для функції f(x,y,z) по поверхні $σ$ .

Якщо при $\lambda = \max_{1 \le i \le n} diam (\sigma_i) \rightarrow 0$ інтегральні суми мають скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття, ні від вибраних точок, цю границю називають поверхневим інтегралом 1-го роду від функції f(x,y,z) по поверхні $σ$ і позначають

$\iint_\sigma f(x,y,z) d\sigma$

$\iint_\sigma f(x,y,z) d\sigma = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta \sigma_i \qquad \qquad\qquad \qquad (2)$ – за означенням.

f(x,y,z) - інтегровна по поверхні $σ$ , поверхня $σ$ - область інтегрування.

Обчислення зводиться до обчислення подвійних інтегралів.

Нехай гладка поверхня $σ$ задана рівнянням z = z(x,y), проектується на площину Оху в область D. Припустимо, що f(x,y,z) неперервна на $σ$ , а z(x,y) і її частинні похідні неперервні в області D.

Внаслідок розбиття $σ$ на частини $σ i$ , D розіб'ється на частини $S i$ , які є відповідними проекціями частин $σ i$ на площину Оху. Якщо $Δ S i$ - площа області $S i$ , $Δσ i$ - площа поверхні $σ i$ , то

$\Delta \sigma_i = \sqrt {1 + (z'_x(\xi_i, \eta_i))^2 + (z'_y(\xi_i, \eta_i))^2} \ \Delta S_i$ , тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta \sigma_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \sqrt {1 + (z'_x(\xi_i, \eta_i))^2 + (z'_y(\xi_i, \eta_i))^2} \ \Delta S_i \qquad \qquad\qquad \qquad (3)$

Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції

$f(x,y,z(x,y)) \ \sqrt {1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2}, \qquad (x,y) \in D$

тому з рівностей (2), (3) випливає, що

$\iint_\sigma f(x,y,z) d\sigma = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \ \sqrt {1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} \qquad \qquad\qquad \qquad (4)$

Формула (4) виражає поверхневий інтеграл 1-го роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні $σ$ на площину Оху.

Аналогічно можна дістати формули для проекцій на Oxz, Oyz.

Поверхневі інтеграли 1-го роду та 2-го роду, фізичний зміст. Формула Остроградського-Гауса.

Візьмемо на гладкій поверхні $σ$ довільну точку М, проведемо в ній нормаль $\overrightarrow n$ певного напрямку і розглянемо на поверхні $σ$ довільний замкнений контур, який виходить з точки М і повертається в точку М, не перетинаючи при цьому поверхні $σ$ . Переміщатимемо точку М по замкненому контуру разом з вектором так, щоб вектор весь час залишався нормальним до $σ$ . При обході заданого контуру ми можемо повернутися в точку М з тим самим або з протилежним напрямом нормалі.

Якщо у довільну точку М поверхні $σ$ після обходу замкненого контуру, розміщеного на поверхні $σ$ , який не перетинає її межу, ми повертаємось з початковим напрямом нормалі $\overrightarrow n$ , то поверхню називають двосторонньою.

Інакше - односторонньою.

Двосторонню поверхню називають орієнтованою, а вибір певної сторони - її орієнтацією.

За додатній напрям обходу вважають той, коли спостерігач розміщений так, що напрям нормалі збігається з напрямом від голови до ніг, при русі залишає поверхню зліва від себе.

Нехай $σ$ - гладка поверхня, задана рівнянням z = f(x,y) і R(x,y,z) - обмежена ф-ція, задана в точках поверхні $σ$ . Зорієнтуємо поверхню $σ$ . Розіб'ємо її на довільні n частин. Позначимо через $D i$ проекцію і-ї частини поверхні $σ i$ на площину Оху, а через $Δ S i$ - площу $D i$ , взяту із знаком +, якщо обрана зовнішня стороні поверхні $σ$ , і зі знаком -, якщо внутрішня. Виберемо в кожній частині $σ i$ довільну точку $P i (ξ i,η i,ζ i)$ , сума

$\sum_{i=1}^n R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$ – інтегральна сума.

Якщо при $\lambda = \max_{1 \le i \le n } d(\sigma_i) \rightarrow 0$ інтегральні суми (1) мають скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні, ні від вибору точок, то цю границю називають поверхневим інтегралом 2-го роду і позначають

$\iint_\sigma R(x,y,z) dx dy$

$\iint_\sigma R(x,y,z) dx dy = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i$

Формула Остроградського-Гауса

Встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею.

Нехай замкнена область G обмежена поверхнею $σ$ , причому знизу та зверху обмежена гладкими поверхнями $σ 1,σ 2$ , рівняння яких $z = z_1(x,y), \ z = z_2(x,y)$ . Припустимо, що проекцією G на Оху є D. Нехай в області G визначено неперервну функцію R(x,y,z), яка в цій області має неперервну похідну $\frac {\partial R}{\partial z}$ . Розглянемо потрійний інтеграл

$\iiint_G \frac {\partial R}{\partial z} dx dy dz = \iint_D dx dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} \frac {\partial R}{\partial z} dz = \iint_D R(x,y, z_2(x,y)) dx dy - \iint_D R(x,y, z_1(x,y)) dx dy$

У правій частині рівності перший подвійний інтеграл запишемо за допомогою поверхневого інтегралу по зовнішній стороні поверхні $σ 2$ , а другий – по зовнішній стороні поверхні $σ 1$ . Враховуючи кути між нормаллю $\overrightarrow n$ та віссю Oz, дістаємо:

$\iiint_G \frac {\partial R}{\partial z} dx dy dz = \iint_{\sigma_1} R(x,y,z) dx dy +\iint_{\sigma_2} R(x,y,z) dx dy = \iint_\sigma R(x,y,z) dx dy \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

Аналогічно, припустивши, що функції $P(x,y,z), \ Q(x,y,z), \ \frac {\partial P}{\partial x}, \ \frac {\partial Q}{\partial y}$ неперервні в області G, можна дістати формули:

$\iiint_G \frac {\partial P}{\partial x} dx dy dz = \iint_\sigma P(x,y,z) dy dz \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

$\iiint_G \frac {\partial Q}{\partial y} dx dy dz = \iint_\sigma Q(x,y,z) dx dz \qquad \qquad \qquad \qquad (5)$

Додавши почленно рівності (3), (4), (5), дістанемо:

$\iiint_G \left ( \frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z} \right ) dx dy dz = \iint_\sigma P dy dz + Q dx dz + R dx dy \qquad \qquad \qquad \qquad (6)$ – формула Остроградського-Гауса.

Справедлива для довільної області G, яку можна розбити на скінченне число підобластей, для яких виконуються рівності (8) – (10).

За допомогою цієї формули зручно обчислювати поверхневі інтеграли по замкнених поверхнях.

Поняття про m-вимірний простір Rm. Відстань між двома точками. Збіжність послідовності точок в Rm.

Rⁿ вводиться як декартів добуток з n чисел, що належать R. Порядок є важливим.

Відстань d: $\bar x = (x_1, x_2,... x_n), \bar y = (y_1, y_2,... y_n): d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$

Точка М тоді: $M (x_1^{n_1}, x_2^{n_2}, ...)$

Відстань між точками

Якщо $M 1 (x 1, y 1), M 2 (x 2, y 2)$ - точки, то $d(M_1, M_2) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$

Для відстані мають виконуватись умови:

$\forall \bar x,\bar y: d(\bar x, \bar y) \ge 0, d(\bar x, \bar y) = 0 \Leftrightarrow \bar x = \bar y$
$\forall \bar x,\bar y: d(\bar x, \bar y) = d(\bar y, \bar x)$
$\forall \bar x,\bar y,\bar z: d(\bar x, \bar y) \le d(\bar x, \bar z) + d(\bar z, \bar y)$

Нехай M₀∈Rⁿ. δ-окіл точки M₀ - це множина всіх точок M таких, що d(M₀M)<δ. Позначення - U_δ(M₀).

Послідовність точок збігається $M_k(x_1^{(k)},...x_n^{(k)}) \to M_0(x_1^{(0)},...x_n^{(0)})$

$M k$ -послідовність збігається до точки $M 0$ при $k \to \infty$ тоді і тільки тоді $\quad \forall \epsilon > 0 \quad \exists k_0 \quad \forall k \ge k_0: d(M_0, M_k) < \epsilon \qquad (1)$

$\left (M_k \in U_\epsilon (M_0) \right )$

Теорема

Збіжність в просторі Rⁿ послідовності точок є покординатною, тобто $M_k \to M_0 (k \to \infty) \Leftrightarrow x_i^{(k)} \to x_i^{(0)} (k \to \infty)$ .

$\Rightarrow$

$(1) \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i^n - x_i^0)^2} < \epsilon \Rightarrow \big| x_i^n - x_i^0\big| < \epsilon, \forall k_0$

$\Leftarrow$

За теоремою про арифметичні дії: $x_i^{(k)} \to x_i^{(0)} \Rightarrow \sum_{i=1}^n (x_i^k - x_i^0)^2 \to 0 \Rightarrow M_k \to M_0$

Достатні умови екстремуму функції двох змінних.

Диференційовні функції багатьох змінних. Достатні умови диференційовності.

Диференціал 1-го порядку. Застосування першого диференціалу для наближених обчислень.

Похідні від складених функцій багатьох змінних.

Обчислення похідних неявно заданих функцій.

Похідні вищих порядків. Теорема Шварца про достатні умови рівності змішаних похідних.

Диференціал другого порядку. Формула Тейлора розвинення функції в околі заданої точки.

Достатні умови екстремуму функції двох змінних.

Теорема Фубіні про зведення потрійного інтегралу до повторних.

Теорема про еквівалентність умов незалежності криволінійного інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування.

Аналіз функцій багатьох змінних:Іспит

Матеріал з USIC Wiki

Зміст

Похідні за напрямком та частинні похідні функцій багатьох змінних. Градієнт функції багатьох змінних та формула визначення похідної за напрямком через градієнт.

Дотична площина та нормаль до гладкої поверхні.

Формула Тейлора розвинення функції багатьох змінних в околі заданої точки.

Локальний екстремум функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму

Найбільше та найменше значення функції в області.

Подвійний інтеграл. Означення, фізичний та механічний зміст.

Теорема Фубіні про обчислення подвійного інтегралу.

Формула заміни змінних у подвійному інтегралі. Якобіан. Полярні координати.

Означення потрійного інтегралу. Теорема Фубіні про зведення потрійного інтегралу до повторних.

Криволінійні інтеграли 1-го та 2-го роду та способи їх обчислення. Фізичний зміст.

Формула Гріна.

Поверхневі інтеграли 1-го роду та методи їх обчислення.

Поверхневі інтеграли 1-го роду та 2-го роду, фізичний зміст. Формула Остроградського-Гауса.

Поняття про m-вимірний простір Rm. Відстань між двома точками. Збіжність послідовності точок в Rm.

Достатні умови екстремуму функції двох змінних.

Диференційовні функції багатьох змінних. Достатні умови диференційовності.

Диференціал 1-го порядку. Застосування першого диференціалу для наближених обчислень.

Похідні від складених функцій багатьох змінних.

Обчислення похідних неявно заданих функцій.

Похідні вищих порядків. Теорема Шварца про достатні умови рівності змішаних похідних.

Диференціал другого порядку. Формула Тейлора розвинення функції в околі заданої точки.

Достатні умови екстремуму функції двох змінних.

Теорема Фубіні про зведення потрійного інтегралу до повторних.

Теорема про еквівалентність умов незалежності криволінійного інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування.

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Пошук

Інструменти