Актуарна математика:Колоквіум

Матеріал з USIC Wiki

Перейти до: навігація, пошук

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Портал:Інформаційні науки

Актуарна математика

Зміст

1 Основні позначення
2 Основні поняття
- 2.1 А
- 2.2 Б
- 2.3 В
- 2.4 Г
- 2.5 Д
- 2.6 Е
- 2.7 Ж
- 2.8 З
- 2.9 І
- 2.10 К
- 2.11 Л
- 2.12 М
- 2.13 Н
- 2.14 О
- 2.15 П
- 2.16 Р
- 2.17 С
- 2.18 Т
- 2.19 У
- 2.20 Ф
- 2.21 Х
- 2.22 Ц
- 2.23 Ч
- 2.24 Ш
- 2.25 Щ
- 2.26 Ю
- 2.27 Є
- 2.28 Ї
- 2.29 Я

Основні позначення

$i$	фактична відсоткова ставка	$i = \frac{d}{1-d}$
$i (m)$	номінальна відсоткова ставка	$i^{(m)} = m((1+i)^{\frac{1}{m}}-1)$
$d$	річна фактична ставка дисконту	$d = \frac{1}{1+i} = 1 - \boldsymbol{\upsilon}$
$\boldsymbol{\upsilon}$	коефіцієнт дисконтування	$\boldsymbol{\upsilon} = \frac{i}{1 + i}$
$δ$	норма відсоткового прибутку	$\delta =\lim_{m \to \infty}i^{(m)}$
T	час тривалості життя індивіда - випадкова величина
$G (t)$	функція розподілу випадкової величини T - часу тривалості життя індивіду	$G(t) = P(T< t), t\ge0$
$k q x$	ймовірність того, що індивід проживши х-років і помре протягом k наступних років	$k q x : = G (t)$
$k p x$	ймовірність того, що індивід віку x проживе принаймні ще k-років	$k p x : = 1 - G (t)$
$s \| t q x$	імовірність того, що індивід х років проживе s років і потім вмре в наступні t років	$s \| t q x : = P (s < T < s + t) = G (s + t) - G (s) = s + t q x - s q x$
$t p x + s$	імовірність того, що індивід х років проживе ще t років після досягнення віку x+s	${}_{t}p_{x+s} :=P(T>s+t \| T>s)= \frac{1-G(s+t)}{1-G(s)}$
$t q x + s$	умовна імовірність того, що індивід х років вмре протягом t років після досягнення віку x+s	${}_{t}q_{x+s} :=P(T\le s+t \| T>s)= \frac{G(s+t)-G(s)}{1-G(s)}$
$μ x (t)$	Сила смертності для індивіда х віку x+t	$\mu_x(t):=\mu_{x+t}:=\frac{g(t)}{1-G(t)}=-\frac{d}{dt}ln(1-G(t))$
$μ x (t)$		$\mu_x(t):=\mu_{x+t}:=\frac{g(t)}{1-G(t)}=-\frac{d}{dt}ln_{t}p_{x}$
К=[T]	кількість повних років життя індивіда (х), що залишилися, або обмежена тривалість майбутнього життя (х)
e_x	очікувана обмежена тривалість майбутнього життя (х)	$e_x=\sum_{k=1}^{\infty} P(K\ge k)=\sum_{k=1}^{\infty}{}_k p_x$
$l x$	кількість новонародених (віку $l 0$ ), що доживають до віку x
$S (x)$	ймовірність дожити до віку х	$S(x) = \frac{l_x}{l_0}$
$t p x$		${}_t p_x = P(T(0)>x+t\|T(0)>x)=\frac{S(x+t)}{S(x)}=\frac{l_{x+t}}{l_x}$
$d x$	кількість людей, які померли у віковому проміжку [x, x+1)	$d x = l x - l x + 1$
$L x$	середня кількість виживших до [x, x+1)	$L_x=\int_x^{x+1}l_y dy = \int_0^1l_{x+t}dt$
$m x$	очікувана смертність	$m_x=\frac{d_x}{L_x}$
$\ddot{a}_{n\urcorner}$	Поточна вартість прямого ануїтета з n щорічними платежами по 1, що починаються в момент 0	$\ddot{a}_{n\urcorner}$ = $1\boldsymbol{\upsilon}^0 + \boldsymbol{\upsilon}^1 + \boldsymbol{\upsilon}^2 + ... + \boldsymbol{\upsilon}^{n-1}$
$\ddot{a}_{x}$	Математичне сподівання поточної вартості прямого ануїтету і воно називається Разовою нетто-премією довічного ануїтету. Тобто з внесенням одноразового внеску із щорічними виплатами до дня смерті того, хто страхується.	$\ddot{a}_{x}$ = $E(\ddot{a}_{K+1\urcorner}) = \sum_{k=0}^{\infty} \ddot{a}_{k+1\urcorner} \cdot {}_k p_x \cdot q_{x+k}$
$\ddot{a}_{x}$	довічний ануїтет розглядається як сума чистих доживань	$\ddot{a}_{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \boldsymbol{\upsilon}^{k} {}_k p_x$
$\ddot{a}_{x}$		$\ddot{a}_x=\frac{1-A_x}{d}$
$\ddot{a}_{x}$		$\ddot{a}_x=1+\boldsymbol{\upsilon}\ddot{a}_{x+1}p_x$
$u q x$	Якщо припускається, що $u q x$ - лінійна функція від u, то інтерполяція між u=0 і u=1 дає вираз	$u q x = u q x$
$1 - u q x + u$	гіпотеза Бальдуччі:	$1 - u q x + u = (1 - u) q x$
Прямий довiчний ануїтет передбачає щорiчнi виплати по 1, доки застрахований живий. Нетто-премiї ануїтету та вiдповiдного страхування пов’язанi цією формулою.	$d\ddot{a}_x+A_x=1$
$\ddot{a}_{x:n\urcorner}$	разова нетто-премія для прямого довічного ануїтета	$\ddot{a}_{x:n\urcorner}=\sum_{k=0}^{n-1}\boldsymbol{\upsilon}^k {}_k p_x$
$A x$	страхова виплата при довічному страхуванні; разова нетто-премія	$A_x = E(\boldsymbol{\upsilon}^{k+1}) = \sum_{k=0}^{\infty} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
$A_{x:n\urcorner}^{1}$	страхова виплата при тимчасовому страхуванні на n років	$A_{x:n\urcorner}^{1} = \sum_{k=0}^{n-1} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
$A_{x:n\urcorner}{}^1$	разова нетто-премія для чистого доживання	$A_{x:n\urcorner}{}^1 = \boldsymbol{\upsilon}^{n} {}_n p_k$
$A_{x:n\urcorner}{}$	разова нетто-премія для доживання	$A_{x:n\urcorner}{}^1 = \boldsymbol{\upsilon}^{n} {}_n p_k$
$P x$	Розглянемо довiчне страхування зi страховою сумою 1, яка виплачується щорiчними нетто-премiями. Тодi вони будуть величини	$P_x=\frac{A_x}{\ddot{a}_x}$
$t L$	Випадкова величина, що э різницею в момент t між поточною вартістю майбутніх страхових виплат і поточною вартістю майбутніх внесків.Ця величина не рівна тотожньо нулю і також T>t.	$t L$
$t V$	Резерв нетто премій в момент t. Визначається як математичне сподівання величини $t L$ при T>t.	$t V$
	РЕКУРЕНТНІ ФОРМУЛИ
1.7.2	$\ddot{a}_{n\urcorner} = \ddot{a}_{\infty\urcorner} - \boldsymbol{\upsilon}^{n}\ddot{a}_{\infty\urcorner} = \frac{1}{d} - \boldsymbol{\upsilon}^{n}\frac{1}{d} = \frac{1 - \boldsymbol{\upsilon}^{n}}{d}$	Зображення ануїтету у вигляді різниці двох безтермінових рент (однієї — з моменту 0, а іншої — з моменту n)
4.6.1	$\ddot{a}_{x}=1+\boldsymbol{\upsilon}\ddot{a}_{x+1} p_x$

Основні поняття

А

Ануїтет - послідовність платежів з обмеженим терміном тривалості, що позначається через n.

Ануітет довічний - складається з щорічних виплат, які здійснюються доти, доки отримувач (початкового віку х) живий. Тобто ануїтет з внесенням одноразового внеску (клієнтом) із щорічними виплатами (клієнтові) до дня його смерті.

Б

В

Відкладене на m років довічне страхування

Разова нетто премія:

${}_{m|}A_x:={}_{m}p_x v^m A_{x+m}=A_x-A_{x:n\urcorner}^{1}$

Відкладений на m років прямий довічний ануітет з щорічними виплатами по 1

Г

Д

Дисконтна ставка $d$

Відсотковий прибуток, виплачуваний на початку кожного періоду конверсії, називають також дисконтом, а відповідну ставку називають ставкою дисконту, чи дисконтною ставкою.

$d = \frac{1}{1+i} = 1 - \boldsymbol{\upsilon}$

Довічне страхування(виплата в розмірі 1 проводиться в кінці року смерті)

K- рік смерті індивіда - є випадковою величиною, сума виплати стала величина

страхові виплати виражаються через величину $A x$

$A_x = E(\boldsymbol{\upsilon}^{k+1}) = \sum_{k=0}^{\infty} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
$\boldsymbol{\upsilon}^{k+1}$ - поточна вартість страхової виплати - це страхова виплата в розмірі 1, помножена на дисконтуючий множник $\boldsymbol{\upsilon}$ , протягом k+1 - років
$k p x$ - ймовірність того, що індивід віку x проживе принаймні ще k-років
$q x + k$ - ймовірність того, що індивід віку x проживши k-років помре протягом наступного року

Доживання

страхова сума виплачується в кінці року смерті при її настанні протягом перших n років, і в кінці n-ного року – в іншому випадку:

Е

Ж

З

І

К

Коефіцієнт дисконтування $\boldsymbol{\upsilon} = \frac{1}{1 + i}$

або множник, що дисконтує - це сукупність факторів, що знецінюють "нашу 100 гривень" за проміжок часу в

n

-років. Тобто сьогоднішня "100 гривень" буде коштувати через 3 роки (n=3):

$100 \cdot \boldsymbol{\upsilon}^n = 100 \cdot \boldsymbol{\upsilon}^3$ гривень.

Конверсія (період конверсії, капіталізація)

Інтервал часу, наприкінці якого відсотковий прибуток додається до основного капіталу (прибуткується).

Л

М

Н

Накопичувальний множник

Степені числа 1+i називаються коефіцієнтами накопичення, чи

накопичувальними множниками.

Нетто-премія (або чистий одночасний внесок) даного договору страхування є математичне сподівання Е(Z) поточної вартості страхової суми.

Премія називається нетто-премією (чистою премією) тоді, коли вона відповідає

принципу еквівалентності E(L)=0 тобто, коли математичне сподівання загального збитку рівне нулю.

L = збиток страхового поліса = поточні страхові виплати - поточна вартість премій

Номінальна відсоткова ставка $i (m)$

Це така відсоткова ставка, період конверсії якої не збігається з основною одиницею часу (наприклад m не рік,а півроку - m=1/2).

$i^{(m)} = m((1+i)^{\frac{1}{m}}-1)$ , де m - частина від року, i - фактична відсоткова ставка

Норма відсоткового прибутку $δ$

Це величина, що є граничним випадком для номінальної відсоткової ставки

i (m)

, коли $m \to \infty$

$\delta =\lim_{m \to \infty}i^{(m)}$

Також важливо знати, що

e δ = 1 + i

О

П

Постнумерандо - безпосередня безтермінова рента

Рента, перша виплата якої здійснюється наприкінці 1го року називається безпосередньою безтерміновою рентою (чи безтерміновою рентою постнумерандо).

Її поточна вартість визначається:

$a_{\overline{\infty}\urcorner}=\boldsymbol{\upsilon}+\boldsymbol{\upsilon}^2+...=\frac{\boldsymbol{\upsilon}}{1-\boldsymbol{\upsilon}}=\frac{1}{i}$

Пренумерандо - пряма безтермінова рента

Це така рента, перша виплата якої здійснюється в момент 0. Поточна вартість ренти:

$\ddot{a}_{\overline{\infty}\urcorner}=1+\boldsymbol{\upsilon}+\boldsymbol{\upsilon}^2+...=\frac{1}{1-\boldsymbol{\upsilon}}=\frac{1}{d}$

Прямий довічний ануїтет, обмежений терміном n-років

Його поточна вартість:

$\ddot{a}_{{n}\urcorner}=1+\boldsymbol{\upsilon}+\boldsymbol{\upsilon}^2+ \dots +\boldsymbol{\upsilon}^{n-1}$

Р

С

Т

Тимчасове страхування

Страхування, що забезпечує страхову виплату тільки при настанні смерті протягом n

років, відоме як тимчасове страхування на термін n.

$A_{x:n\urcorner}^{1} = \sum_{k=0}^{n-1} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
при $n = \infty$ див. довічне страхування

У

Ф

Фактична відсоткова ставка $i$

Це така відсоткова ставка, період конверсії якої збігається з основною одиницею часу; у цьому випадку відсотковий прибуток виплачується наприкінці основної одиниці часу.

Відсоткову ставку можна виразити через коефіцієнт дисконтування: $i = \frac{d}{1-d}$

Х

Ц

Ч

Чисте доживання

Чисте доживання тривалістю n років забезпечує виплату страхової суми якщо тільки застрахований живий до кінця n років:

Ш

Щ

Ю

Є

Ї

Я

Актуарна математика:Колоквіум

Матеріал з USIC Wiki

Зміст

Основні позначення

Основні поняття

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

І

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Щ

Ю

Є

Ї

Я

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Пошук

Інструменти