Актуарна математика:Іспит

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Ця стаття особливо стосується студентів ФЕН

Основні позначення

i	фактична відсоткова ставка	$i = \frac{d}{1-d}$
i(m)	номінальна відсоткова ставка	$i^{(m)} = m((1+i)^{\frac{1}{m}}-1)$
d	річна фактична ставка дисконту	$d = \frac{1}{1+i} = 1 - \boldsymbol{\upsilon}$
$\boldsymbol{\upsilon}$	коефіцієнт дисконтування	$\boldsymbol{\upsilon} = \frac{i}{1 + i}$
δ	норма відсоткового прибутку	$\delta =\lim_{m \to \infty}i^{(m)}$
T	час тривалості життя індивіда - випадкова величина
G(t)	функція розподілу випадкової величини T - часу тривалості життя індивіду	$G(t) = P(T< t), t\ge0$
kqx	ймовірність того, що індивід проживши х-років і помре протягом k наступних років	kqx: = G(t)
kpx	ймовірність того, що індивід віку x проживе принаймні ще k-років	kpx: = 1 − G(t)
s | tqx	імовірність того, що індивід х років проживе s років і потім вмре в наступні t років	s | tqx: = P(s < T < s + t) = G(s + t) − G(s) = s + tqx − sqx
tpx + s	імовірність того, що індивід х років проживе ще t років після досягнення віку x+s	${}_{t}p_{x+s} :=P(T>s+t | T>s)= \frac{1-G(s+t)}{1-G(s)}$
tqx + s	умовна імовірність того, що індивід х років вмре протягом t років після досягнення віку x+s	${}_{t}q_{x+s} :=P(T\le s+t | T>s)= \frac{G(s+t)-G(s)}{1-G(s)}$
μx(t)	Сила смертності для індивіда х віку x+t	$\mu_x(t):=\mu_{x+t}:=\frac{g(t)}{1-G(t)}=-\frac{d}{dt}ln(1-G(t))$
μx(t)		$\mu_x(t):=\mu_{x+t}:=\frac{g(t)}{1-G(t)}=-\frac{d}{dt}ln_{t}p_{x}$
К=[T]	кількість повних років життя індивіда (х), що залишилися, або обмежена тривалість майбутнього життя (х)
ex	очікувана обмежена тривалість майбутнього життя (х)	$e_x=\sum_{k=1}^{\infty} P(K\ge k)=\sum_{k=1}^{\infty}{}_k p_x$
lx	кількість новонародених (віку l0), що доживають до віку x
S(x)	ймовірність дожити до віку х	$S(x) = \frac{l_x}{l_0}$
tpx		${}_t p_x = P(T(0)>x+t|T(0)>x)=\frac{S(x+t)}{S(x)}=\frac{l_{x+t}}{l_x}$
dx	кількість людей, які померли у віковому проміжку [x, x+1)	dx = lx − lx + 1
Lx	середня кількість виживших до [x, x+1)	$L_x=\int_x^{x+1}l_y dy = \int_0^1l_{x+t}dt$
mx	очікувана смертність	$m_x=\frac{d_x}{L_x}$
$\ddot{a}_{n\urcorner}$	Поточна вартість прямого ануїтета з n щорічними платежами по 1, що починаються в момент 0	$\ddot{a}_{n\urcorner}$ = $1\boldsymbol{\upsilon}^0 + \boldsymbol{\upsilon}^1 + \boldsymbol{\upsilon}^2 + ... + \boldsymbol{\upsilon}^{n-1}$
$\ddot{a}_{x}$	Математичне сподівання поточної вартості прямого ануїтету і воно називається Разовою нетто-премією довічного ануїтету. Тобто з внесенням одноразового внеску із щорічними виплатами до дня смерті того, хто страхується.	$\ddot{a}_{x}$ = $E(\ddot{a}_{K+1\urcorner}) = \sum_{k=0}^{\infty} \ddot{a}_{k+1\urcorner} \cdot {}_k p_x \cdot q_{x+k}$
$\ddot{a}_{x}$	довічний ануїтет розглядається як сума чистих доживань	$\ddot{a}_{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \boldsymbol{\upsilon}^{k} {}_k p_x$
$\ddot{a}_{x}$		$\ddot{a}_x=\frac{1-A_x}{d}$
	Прямий довiчний ануїтет передбачає щорiчнi виплати по 1, доки застрахований живий. Нетто-премiї ануїтету та вiдповiдного страхування пов’язанi цією формулою.	$d\ddot{a}_x+A_x=1$
$\ddot{a}_{x:n\urcorner}$	разова нетто-премія для прямого довічного ануїтета	$\ddot{a}_{x:n\urcorner}=\sum_{k=0}^{n-1}\boldsymbol{\upsilon}^k {}_k p_x$
Ax	страхова виплата при довічному страхуванні; разова нетто-премія	$A_x = E(\boldsymbol{\upsilon}^{k+1}) = \sum_{k=0}^{\infty} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
$A_{x:n\urcorner}^{1}$	страхова виплата при тимчасовому страхуванні на n років	$A_{x:n\urcorner}^{1} = \sum_{k=0}^{n-1} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
$A_{x:n\urcorner}{}^1$	разова нетто-премія для чистого доживання	$A_{x:n\urcorner}{}^1 = \boldsymbol{\upsilon}^{n} {}_n p_k$
$A_{x:n\urcorner}{}$	разова нетто-премія для доживання	$A_{x:n\urcorner}{}^1 = \boldsymbol{\upsilon}^{n} {}_n p_k$
	РЕКУРЕНТНІ ФОРМУЛИ
1.7.2	$\ddot{a}_{n\urcorner} = \ddot{a}_{\infty\urcorner} - \boldsymbol{\upsilon}^{n}\ddot{a}_{\infty\urcorner} = \frac{1}{d} - \boldsymbol{\upsilon}^{n}\frac{1}{d} = \frac{1 - \boldsymbol{\upsilon}^{n}}{d}$	Зображення ануїтету у вигляді різниці двох безтермінових рент (однієї — з моменту 0, а іншої — з моменту n)
4.6.1	$\ddot{a}_{x}=1+\boldsymbol{\upsilon}\ddot{a}_{x+1} p_x$

Основні поняття

А

Ануїтет - послідовність платежів з обмеженим терміном тривалості, що позначається через n.

Ануітет довічний - складається з щорічних виплат, які здійснюються доти, доки отримувач (початкового віку х) живий. Тобто ануїтет з внесенням одноразового внеску (клієнтом) із щорічними виплатами (клієнтові) до дня його смерті.

В

Відкладене на m років довічне страхування

• Разова нетто премія:

${}_{m|}A_x:={}_{m}p_x v^m A_{x+m}=A_x-A_{x:n\urcorner}^{1}$

Відкладений на m років прямий довічний ануітет з щорічними виплатами по 1

Д

Дисконтна ставка d

Відсотковий прибуток, виплачуваний на початку кожного періоду конверсії, називають також дисконтом, а відповідну ставку називають ставкою дисконту, чи дисконтною ставкою.

$d = \frac{1}{1+i} = 1 - \boldsymbol{\upsilon}$

Довічне страхування(виплата в розмірі 1 проводиться в кінці року смерті)

K- рік смерті індивіда - є випадковою величиною, сума виплати стала величина

страхові виплати виражаються через величину A_x

• $A_x = E(\boldsymbol{\upsilon}^{k+1}) = \sum_{k=0}^{\infty} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
• $\boldsymbol{\upsilon}^{k+1}$ - поточна вартість страхової виплати - це страхова виплата в розмірі 1, помножена на дисконтуючий множник $\boldsymbol{\upsilon}$, протягом k+1 - років
• _kp_x - ймовірність того, що індивід віку x проживе принаймні ще k-років
• q_{x + k} - ймовірність того, що індивід віку x проживши k-років помре протягом наступного року

Доживання

страхова сума виплачується в кінці року смерті при її настанні протягом перших n років, і в кінці n-ного року – в іншому випадку:

К

Коефіцієнт дисконтування $\boldsymbol{\upsilon} = \frac{1}{1 + i}$

або множник, що дисконтує - це сукупність факторів, що знецінюють "нашу 100 гривень" за проміжок часу в n-років. Тобто сьогоднішня "100 гривень" буде коштувати через 3 роки (n=3):

$100 \cdot \boldsymbol{\upsilon}^n = 100 \cdot \boldsymbol{\upsilon}^3$ гривень.

Н

Накопичувальний множник

Степені числа 1+i називаються коефіцієнтами накопичення, чи

накопичувальними множниками.

Нетто-премія (або чистий одночасний внесок) даного договору страхування є математичне сподівання Е(Z) поточної вартості страхової суми.

Премія називається нетто-премією (чистою премією) тоді, коли вона відповідає

принципу еквівалентності E(L)=0 тобто, коли математичне сподівання загального збитку рівне нулю.

• L = збиток страхового поліса = поточні страхові виплати - поточна вартість премій

Номінальна відсоткова ставка i^(m)

Це така відсоткова ставка, період конверсії якої не збігається з основною одиницею часу (наприклад m не рік,а півроку - m=1/2).

$i^{(m)} = m((1+i)^{\frac{1}{m}}-1)$, де m - частина від року, i - фактична відсоткова ставка

Норма відсоткового прибутку δ

Це величина, що є граничним випадком для номінальної відсоткової ставки i^(m), коли $m \to \infty$

$\delta =\lim_{m \to \infty}i^{(m)}$

Також важливо знати, що e^δ = 1 + i

П

Пряма безтермінова рента (пренумерандо)

Це така рента, перша виплата якої здійснюється в момент 0. Поточна вартість ренти:

$\ddot{a}_{\overline{\infty}\urcorner}=1+\boldsymbol{\upsilon}+\boldsymbol{\upsilon}^2+...=\frac{1}{1-\boldsymbol{\upsilon}}=\frac{1}{d}$

Прямий довічний ануїтет, обмежений терміном n-років

• Його поточна вартість:

Т

Тимчасове страхування

Страхування, що забезпечує страхову виплату тільки при настанні смерті протягом n

років, відоме як тимчасове страхування на термін n.

• $A_{x:n\urcorner}^{1} = \sum_{k=0}^{n-1} \boldsymbol{\upsilon}^{k+1} {}_k p_x q_{x+k}$
• при $n = \infty$ див. довічне страхування

Ф

Фактична відсоткова ставка i

Це така відсоткова ставка, період конверсії якої збігається з основною одиницею часу; у цьому випадку відсотковий прибуток виплачується наприкінці основної одиниці часу.

Відсоткову ставку можна виразити через коефіцієнт дисконтування: $i = \frac{d}{1-d}$

Ч

Чисте доживання

Чисте доживання тривалістю n років забезпечує виплату страхової суми якщо тільки застрахований живий до кінця n років: