Ігри з природою

Ця стаття відноситься до групи довідкових статей для студентів ФІН.

Близькою за ідеями та методами до теорії ігор є теорія статистичних рішень. Від теорії ігор вона відрізняється тим, що невизначена ситуація не має конфліктного забарвлення - ніхто нікому не протидіє, але елемент невизначеності присутній. У задачах теорії статистичних рішень невідомі умови операції залежать не від "суперника", що діє свідомо, а від об'єктивної дійсності, яку в теорії статистичних рішень прийнято називати "природою". Відповідні ситуації часто називаються "іграми з природою". "Природа" уявляється як деяка незацікавлена інстанція, "поведінка" якої невідома, але в будь-якому разі не є зловмисною.

Розглянемо гру з природою: у нас (сторона А) є m можливих стратегій $A_1,~ A_2, ~...,~ A_m$; що стосується обставин , то про них можна зробити n припущень: $\Pi_1,~ \Pi_2,~ ..., ~\Pi_n$. Розглянемо їх як "стратегії природи". Наш виграш a_ij при кожній парі стратегій $A_i, ~\Pi_j$ задано матрицею:

	Π1	Π2	...	Πn
A1	a11	a12	...	a1n
A2	a21	a22	...	a2n
A3	a31	a32	...	a3n
...	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	amn

Потрібно обрати таку стратегію гравця А, яка є найвигіднішою в порівнянні з іншими.

Для вибору оптимальної стратегії часто використовують критерії Вальда, Севіджа , Гурвіца і Лапласа . Але яке рішення обрати, коли всі методи дають різні результати?

Нехай критерієм оптимальності є порядок $\ge$ на множині альтернатив (стратегій). Оптимальною вважається стратегія, яка за цим порядокм є максимальною. Є наступні аксіоми:

1. Впорядкованість. Відношення $\ge$ є повним порядком альтернатив.

2. Симетрія. Рішення не залежить від перестановки стовпчиків і рядків матриці a_ij.

3. Строге домінування. Якщо рішення $a_{ij}\ >\ a_{lj}$ для всіх j, то $i\ >\ l$ (i строго більше за l).

4. Неперервність. Якщо послідовність матриць $a_{ij}^k$ збігається поелементно до матриці a_ij та i₁ > i₂ для всіх k, то на границі (в матриці a_ij) $i_1 \ge i_2$.

5. Лінійне перетворення. Відношення порядку $\ge$ не зміниться, якщо кожний елемент матриці a_ij замінити на $\lambda\cdot a_{ij} + \mu,\ \lambda > 0$.

6. Приєднання рядка. Порядок наявних альтернатив не зміниться від приєднання нової альтернативи (рядка матриці).

7. Зсув стовпчика. Порядок не міняється від додавання константи до всіх елементів деякого стовпчика.

8. Повтор стовпчика. Порядок не зміниться, якщо додати новий стовпчик, ідентичний до одного з уже наявних.

9. Опуклість. Якщо $i_1\ \sim\ i_2$, тобто $i_1 \ge i_2$ і $i_2 \ge i_1$ і $a_{i_{0}j}\ = \frac{1}{2} (a_{i_{1}j} + a_{i_{2}j}),\ (j = 1, ..., n)$, то $i_0 \ge i_1$.

10. Приєднання спеціального рядка. Порядок наявних альтернатив не зміниться від приєднання нового рядка, кожний елемент якого не більший за всі елементи відповідного стовпчика.

Відповідність критеріїв аксіомам:

Аксіоми	Критерій Вальда	Критерій Севіджа	Критерій Гурвіца	Критерій Лапласа
1.Впорядкованість	+	+	+	+
2.Симетрія	+	+	+	+
3.Строге домінування	+	+	+	+
4.Неперервність	+	+	+	-
5.Лінійне перетворення	-	-	+	-
6.Приєднання рядка	+	-	+	+
7.Зсув стовпчика	-	+	-	+
8.Повтор стовпчика	+	+	+	-
9.Опуклість	+	-	-	-
10.Приєднання спеціального рядка	-	+	-	-